严格对角占优M－矩阵的逆矩阵无穷大范数的上界序列

蒋建新，李艳艳

(文山学院 数学学院，云南 文山663000)

严格对角占优矩阵是一类在数值代数、数学物理和控制论等领域有着广泛应用的特殊矩阵，例如:线性方程组Ax=b，当系数矩阵A为严格对角占优矩阵时，许多经典的迭代算法均是收敛的，同时对目前提出的一些修正算法也是收敛的，所以在理论探讨和实际工作中常要估计矩阵逆的无穷范数，尤其是对大型矩阵的判别，还存在许多困难．经过国内外许多学者不懈努力，已获得一些重要结果［1］． 本文继续研究严格对角占优M－矩阵A的‖A－1‖∞的上界估计问题，给出其新的收敛的上界序列．

1 预备知识

定义1［2］记，称Zn×n中的矩阵A为Z－矩阵(简记为;设，如果A可表示为A=αI－P，其中P≥0(即，∀i，j∈N)，α≥ρ(P)，则称A为M－矩阵(ρ(P)是非负矩阵P的谱半径)．特别，当α ＞ρ(P)时，称A为非奇异M－矩阵;当α=ρ(P)时，称A为奇异M－矩阵．用Mn表示非奇异M－矩阵的集合，q(A)表示非奇异M－矩阵A的最小特征值．

定义2［3］设且满足下列条件:

(i，存在非零元素序列aii1ai1i2…airk，其中i≠i1，i1≠i2，…，ir≠k，k∈J(A)，则称A为弱链对角占优矩阵．

定义3［3］设A=(aij)∈Rn×n，若J(A)=N，则称A为严格对角占优矩阵．

注1:由定义2 和定义3 知，若A为严格对角占优矩阵，则A为弱链对角占优矩阵．

引理1［4］设A=(aij)∈Rn×n是弱链对角占优M－矩阵，则B=A(2，n)∈R(n－1)×(n－1)也是弱链对角占优M－矩阵，且B－1=(βij)存在，βij≥0(i，j=2，3，…，n)．

引理2［5］设A=(aij)∈Rn×n是弱链对角占优M－矩阵，B=A(2，n)∈R(n－1)×(n－1)，A－1=(αij)，B－1=(βij)，则:

其中

若J(A)=N，则Δ≥a11(1－d1l1)≥a11(1－d1)．

引理3［4］设A=(aij)是严格对角占优的M－矩阵，则Δ≥a11(1－d1l1)＞a11(1－d1)＞0．

引理4［6］设A=(aij)∈Rn×n是行严格对角占优的M－矩阵，则A－1=(αij)满足:

引理5［6］设A=(aij)∈Rn×n是行严格对角占优的M－矩阵，则A－1=(αij)满足:

引理6［7］设A=(aij)∈Rn×n是弱链对角占优M－矩阵，A－1=(αij)，令q=q(A)，

2 ||A －1|| ∞的上界序列和q(A)的下界序列

定理1 设A=(aij)∈Rn×n是严格对角占优M－矩阵，则∀t=0，1，…，有

由式(5)知:当2≤j≤n时，故当2≤i≤n时

则定理得证．

定理2 设A=(aij)∈Rn×n是严格对角占优M－矩阵，则:‖A－1‖∞＜Ωt，

定理3 由定理2 得到的‖A－1‖∞的上界序列是单调递减的且以‖A－1‖∞为下界，所以该序列是收敛的．

定理5 由定理4 得到的q(A)的下界序列是单调递增的且以q(A)为上界，所以该序列收敛．

3 数值算例

应用文献［6］中定理3．7，当取迭代总数T=10 时得‖A－1‖∞≤0．537，应用文章［7］中定理3．2 的估计式得‖A－1‖∞≤0．699;应用本文定理2，当取迭代总数T=10 时得‖A－1‖∞≤0．3952;事实上，应用Matlab 7．1 计算得

上例表明，在某些条件下本文所得的‖A－1‖∞的上界序列优于现有的一些结果．

［1］ Johnson C R．A Hadamard product involvingM－matrix［J］．Linear and Multilinear Algebra，1997，4:261－264．

［2］ 陈景良，陈向晖．特殊矩阵［M］．北京:清华大学出版社，2000．

［3］ 黄廷祝，杨传胜．特殊矩阵分析及应用［M］．北京:科学出版社，2007．

［4］ Shivakumar P N，Chew K H．A sufficient condition for nonvanishing of determinants［J］．Proc Amer Math Soc，1974，43:63－66．

［5］ Cheng G H，Huang T Z．An upper bound for ‖A－1‖∞of strictly diagonally dominantM－matrices［J］． Linear Algebra Appl，2009，43:511－517．

［6］ 赵建兴．M－矩阵最小特征值估计及其相关问题研究［D］．昆明:云南大学，2014．

［7］ 王亚强，李耀堂，孙小军，等．A new upper bound for ||A－1||∞of strictly diagonally dominantM－matrix［J］．山东大学学报:理学版，2010，45(4):43－48．