徐亮
前不久,笔者在翻阅几本高三二轮复习用书的过程中发现,不同的编者却不约而同地都选用了这样一道题:“设a∈R,二次函数f(x)=ax2-2x-2a,若f(x)>0的解集为A,B={x|1 初探 集合运算是这道题的关键条件,抓住“A∩B≠?覫”作为解题的切入口。集合B已知,故考虑先求出集合A。对于不等式ax2-2x-2a>0(a≠0)的解集,考查含参的一元二次不等式的解法,需要进行分类讨论。 这样的解法朴实无华,回归集合运算的本质,通过解含参不等式,借助数轴比较区间端点的大小实现问题的解决。但是,不难发现,这种方法的求解过程中涉及无理不等式的求解,对计算能力的要求较高,学生易错。 再探 回到原题再看“B={x|1 此解法没有停留在原有问题的表面,将集合A,B的交集不空转化为不等式在给定区间上有解的问题,为解决本题跨出了坚实有力的一步。但是,怎么看都觉得这个方法的解题过程略显繁杂,还有简化改进的空间吗? 三探 既然解法二中已经将问题转化为不等式ax2-2x-2a>0(a≠0)在a∈(1,3)上有解的问题,何不顺藤摸瓜,沿着这条线继续前行。对于一元二次不等式在给定区间上有解,借助二次函数的图像研究更为直观。 问题到此似乎已经寻找到解决该题的最佳方法,但是学生的思路又给这道题的解决开辟了更广阔的途径。 学生的思路 先考查A∩B≠?覫时,实数a的取值范围。 对于二次函数f(x)=ax2-2x-2a,方程ax2-2x-2a=0两根x1x2=-2<0,函数有两个零点分别在y轴的两侧; 当a>0时,抛物线开口向上,此时若要求A∩B≠?覫,只需f(3)≤0即可,解之得:0 当a<0时,抛物线开口向下,此时若要求A∩B≠?覫,只需f(1)≤0即可,解之得:-2≤a<0; 所以当A∩B≠?覫时,实数a的取值范围是-2≤a<0或0 。 此解法从问题的另一个角度入手,另辟蹊径,化归为不等式无解问题进行研究,显得更加清晰明朗。 回顾本题的几种不同解法,虽然有些略显冗长和复杂,有些却娓娓道来,但是相比较本题的优美解,笔者更欣赏解法一和解法二。对于某些数学问题,在计算并不复杂的情况下,回归朴素自然的方法也是不错的选择。数学解题就是一个从无到有、从有到优的过程,“有”和“优”两个结果都可以实现问题的最终解决,并不是每一次的解题都能寻求到最简洁、最漂亮的方法。如果一味追求优美解,可能就会忽略数学解题中最真实的本源、最自然的流露。巧解、妙解的背后也许就隐藏着更大的危机。在平时的教学中,教师也要有意识地引导学生,从最基本的方法入手,掌握数学知识的本质,提高分析问题与解决问题的能力。同时,教师更要对高考试题进行深入剖析与研究,从近几年的高考题中,找到高考命题的共性与变化趋势。从一些相似问题的研究中发现变化、寻找规律,让这些陈题、好题发挥其内在价值,渗透在平时复习的各个环节中,提高高三复习的效率。 编辑 谢尾合