高职数学教学中的化归思想及应用

周力

摘要：数学思想方法贯穿于问题的发现和解决的全过程中，对数学教学、科学研究、人才培养等方面发挥主导作用。本文给合教学经验讨论化归思想的方向及原则，谈谈化归思想在几种不同类型问题中的挖掘和应用。

关键词：数学思想;化归思想;课程

中图分类号：G712     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2015）19-0199-02

一、数学课程对数学思想要高度重视

数学教学的根本任务就是促进学生在不断学习的过程中逐渐积累数学观念系统。一般来说，在教法上应突出渗透性原则。因为教材不可能既写知识又写数学思想方法，后者是蕴含在数学知识系统之中的。因此，教师在教学全过程中其思维结合学生知识结构特征，将数学概念、公式、定理、法则等内容中蕴含着的数学思想方法挖掘出来，经过精心设计的教学过程，在教学中有意识潜移默化（不是讲一段知识内容，再讲一段所用的数学思想方法）地引导学生领会蕴含在其中的数学思想和方法，将能有效提高学生的数学能力。

二、化归思想方法概述

1.化归思想方法的基本定义。化归思想方法就是把待求解的问题A，通过某种转化过程，归结到一类已经解决的问题或若干问题Bn，借此来获得问题的解答。化归思想方法又称化归原则，是数学方法中重要的基本方法之一，是用数学思考和解决问题的基本原则。一般模式如图2所示。

2.化归思想的主要特点。数学问题中的化归思想应用有着诸多特点，主要包括重复性、层次性以及多向性。（1）重复性。化归思想的重复性特点主要体现在具体的解题过程中，往往一个问题需要利用该方法多次，重复使用以后才能得出具体的结果。例如：有不等式1> ，求解x。解答这道题目时，首先要利用化归思想将不等号左边的1移到右边来，然后，将分式转换成整式。整个过程中，化归思想被应用了两次。通常情况下，求解数学问题时，题目越难越复杂，需要应用化归方法的次数也就越多。（2）层次性。从不同的层次上对化归思想进行定义，其意义各不相同。一方面，从微观角度上看，化归思想是一种用于解答数学问题的方法;从宏观角度上看，化归思想可以看成一种数学方面的思想。另一方面，从狭义角度分析，化归思想可以充分调动发掘人们的已有知识和经验;从广义的角度上分析，化归思想能够将数学学科的各个分支有效连接起来。（3）多向性。数学问题在转化期间，往往可以选择多种形式，包括内部结构以及外部形式、外在条件或是已有结论，采用多种转化方法、多种转化对象以及多种转化目标。由于不同的学生的数学能力也各不相同，面对同样的题目，很容易产生不同的化归对象，进而充分体现出了化归思想的多向性。

3.化归思想的基本原则。（1）熟悉原则。一个问题的解决中，最常用的方法就是将较生疏的问题转化成相对熟练的问题，继而启动自身所掌握的知识解答问题。比如：假定数列{an}符合下列条件，a1=1，而an+1=2an+3，求数列的通项公式。解答这道题目时，我们可以直接看出想要求得的数列并不是自己比较熟悉的等差或是等比数列，然而，通过利用化归思想，构造一个新的数列，令其满足等差或等比数列条件，便可以求得原题的答案了。（2）简单原则。化归的主要目的就是将相对复杂的数学问题进行简单化的转化，所谓的简单不一定代表问题结构简单，也可以表示对比原问题，转化以后的处理方法更加简单。（3）具体原则。数学的抽象性非常强，想要将抽象化的问题转化成能够解决的问题，应该向着具体化的方向转化。具体化针对的是原来的题目，而自身已经熟练掌握的知识点都可以当做具体化归素材。

三、化归思想在极限问题中的应用

挖掘辅助函数法、泰勒级数、积分法求极限三个方面化归思想的实际应用，积极指向数学活动，与之相伴随，教育价值陡增，回归培养学生数学能力的根本途径。

1.辅助函数法求极限。辅助函数法求极限，引入的辅助函数基本上多为学生比较熟悉的函数或是固定的专用函数。其中比较常见的有：数列←→函数转换、极限←→级数转换，引入泰勒公式等。

（1）利用化归思想将数列转化为函数。将数列的极限选用海涅定理可以转化为函数的极限。

例1：已知an= ，求

解析：由海涅定理可以将所求  转化为  ，即 x ，随后，便可以利用已经掌握的罗比达法则进行极限求解。

例2：利用函数极限证明柯西准则具备充分性，有

f（x）在一个空心邻是存在的，设空心邻为U0（x0，δ′），那么在任意ε>0时，必然存在某个正数δ<δ′，令U0中的x′、x″有f（x′）-f（x″）<ε，也就是指 f（x）是存在的。

解析：首先，假设存在某个数列{xn}在U0（x0，δ′）中，且有 xn=x0，那么对于给出的ε来说，必然存在对应的δ，且δ<δ′，且U0中的x′、x″有f（x′）-f（x″）<ε。通过柯西准则可知，必然存在某正数N，针对所有的m，n来说，只要满足xm，xn在U0中，那么必然有f（xm）-f（xn）<ε。利用柯西准则可以确定，数列{f（xn）}的极限是存在的，将该数列的极限记为A。假设存在一数列{yn}在U0（x0，δ′）上也能满足

yn=x0，表示 yn是存在的，可以记为B，那么B=A。再假设一数列{zn}：x1，y1，x2，y2，…，xn，yn…，显而易见，数列{zn}在U0（x0，δ′）上也能满足 zn=x0.所以，我们可以判断{f（zn）}也是收敛的，其子列的极限是相同的。因此通过归结的原则便可以得出 f（x）=A.

（2）极限和级数之间完成转化，利用泰勒公式。函数的极限是数学的重要内容之一，对于一些复杂函数，需要转化问题，泰勒公式在数学极限问题中也比较常用，适用于不同的题型。endprint

例1：求解 [1- + - +…+（-1）n-1 ].

解析：从题目中分析在求解错项级数的前n项之和，其形式与泰勒展开式中f（x）=ln（1+x）的展开形式较像，所以该问题可以通过级数解决，即将题目划归为泰勒展开式的形式。

解：已知当x=1时，函数lnx的泰勒展开式为：

f（x）=lnx=（x-1）- + - +…+（-1）n-1 +…

所以有：ln（x+1）=x- + - +…+（-1）n-1 +…

则当x为1时，有ln（x+1）=ln（1+1）=ln2

即原极限为ln2.

2.积分法求极限。定积分是一种特殊类型的极限，定积分是一种较为复杂的和式求极限，能够将变量λ所有的自变过程完全反映出来，在同一个区间可以进行无数种划分，同时，针对每一种划分方法，也可以找出无数种介点取法，相应的和式更是存在无数个值。但是，从本质上看，积分极限和函数极限、数列极限依然存在着共同点。

例1：求极限   。

解析：这个问题是求有限和的极限值，可以使用恒等变形的方式将它转化成一个定积分，得到极限。

解：假设存在an=  =

那么有lnan=  ln（1+ ），通过定积分的定义可以得出：

lnan=   ln（1+ ）= ln（1+x）dx=ln

所以，原极限值为ln 。

四、结语

未学的、复杂的数学问题，通过转化，归结为已学的或易解决的问题，这是化归思想的功能。也就是说，化归转化方法使旧的知识向新的知识迈进，使低一级知识向高一级知识纵深发展。极限的意义在化归思想的杠杆放大作用下，向导数、连续、定积分、级数等领域发展，化归思想实现了知识交融，从一个领域向另一个领域转化，得到更多新的理论，转化正是数学思想方法的核心与精髓。

参考文献：

[1]周炎龙.化归思想在高中数学中的体现和教学[D].郑州：河南师范大学，2013.

[2]纪宁宁.高中数学化归思想及其实践研究[D].石家庄：河北师范大学，2014.

[3]杨丽星.试论数学分析中极限的化归转化思想方法[J].科技信息，2010，（12）.endprint