泛函分析课程教学点滴

石智 赵君平

摘要：依据多年教学的体会，回顾总结了泛函分析教学中加强基本概念教学中已取得的点滴成果，主张加强基本概念教学，启迪学生智慧，激发兴趣，使学生的泛函基础知识建立在牢固的基础上.

关键词：距离空间;不动点;共轭空间;内积空间;弱收敛

中图分类号：G642.0     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2015）18-0177-02

泛函分析课程是高等学校数学专业一门重要的专业课程.它内容抽象，理论深刻，应用广泛，它的思想、观念及处理问题的方式也同时渗透到数学科学的方方面面，对于提高学生数学素质，开展理论和应用研究有不可替代的作用.本课程由于理论性强，内容较抽象，需要的前期准备知识较多，在学生学习和老师授课方面都有一定的难度.在教学过程中，除了注重应用，我们也重视了加强基本概念的教学.下面是我们多年教学的点滴体会.

一、距离空间的有关概念

数学分析的基本概念之一是序列收敛的概念，而收敛又是与距离有关的.

在距离的定义中，d（x，y）≥0可用三角不等式推出.另外，定义中非负性、对称性、三角不等式等三个条件等价于下面两条：

（1）d（x，y）≥0，d（x，y）=0？圳x=y;

（2）d（x，y）≤d（x，z）+d（y，z）.

在同一个集合上，可以定义多个距离，就得到不同的距离空间.例如在R 中，设p>1是一个确定的实数，可以定义距离d（x，y）= |ζ -η |  .由于p的不同值，就有无限多个不同的距离空间.

应用较多的是C[a，b]中的距离：

d（x，y）= |x（t）-y（t）|.

对于C[a，b]的这个距离，如果x是所要求的某个函数，y是它的一个近似表达式，要求d（x，y）<10 ，则是指给出近似表达式y的数值与真值x的偏离在任何地方都不超过10 .逼近论中的许多问题都能用这个距离表示.维尔斯特拉斯证明了闭区间C[a，b]上的任意连续函数都能用多项式作任意逼近，这里的逼近就是用上面定义的距离来度量的.

也应该注意到在C[a，b]中，依距离d（x，y）= |x（t）-y（t）|是完備的距离空间，但把它看作L [a，b]的子空间，依距离

d（x，y）=   |x（t）-y（t）| dx 却是不完备的.

二、注意巴拿赫不动点定理的条件

设X是完备距离空，T：X→X，d（Tx，Ty）≤αd（x，y）（0≤α<1）是压缩映射，则T在X中存在唯一的不动点x ，x =Tx .这就是巴拿赫不动点理.

对于不动点定理，有几点需要说明：（1）压缩映射使得X中的任意两点x，y的像比该两点自身更接近.此外，压缩映射是连续的.（2）X的完备性保证了不动点是存在的，至于不动点的唯一性是直接从映射的压缩性来的，并不要假设空间是完备的.定理中完备性与压缩性两个条件缺一不可.例如考察（0，+∞）到它自身的映射Tx=αx，这里α是小于1的一个正数，它显然是压缩映射，但是它在（0，+∞）中没有不动点.原因就是空间（0，+∞）不完备.（3）条件α不能等于1.例如，设X={x|1≤x<+∞}，取实轴上的通常距离，定义映射T：X→X为x→x+1/x，当x≠y时，|Tx-Ty|<|x-y|，但映射T没有不动点，就是因为α等于1.

三、理解共轭空间

X上的全体有界线性泛函记为X ，称X 为X的共轭空间.

有很多物理现象具有这样的特点，当用函数来描述它们时，其自变量在极小的范围内取值很大，而在其他范围内取值为零.例如，力学中瞬间发生作用力的冲击力，数字信号处理中的抽样脉冲，直线上的质量集中在一点附近时的密度，电学中点电荷的密度等.为了刻画这种物理现象，需要一种抽象的数学模型，即需要一种“函数”，除某点（如原点）外处处为零，在这一点其值等于无穷，而在整个直线上的积分值为1，这种“函数”后来被称为δ函数，它是由物理学家狄拉克（Dirac）最先引进的，其表示式为：

δ（x）=0，x≠0，∞，x=0，？摇 δ（x）dx=1.

这样表示的函数与数学命题：若f=0 a.e.，则 f=0矛盾，因此δ函数的上述表示一直不能被数学家接受.数学家经过长期的努力，在共轭空间中找到了δ函数的位置和理论依据.

我们来看一下δ函数的数学定义.

对C[-1，1]中任意一个连续函数f（t），对应一个C[-1，1]→R的泛函：

f（x）=  f（t）x（t）dt.

线性泛函是显然的，现证其连续性.

对任意的x ∈C[-1，1]，有

|f（x）-f（x ）|=  f（t）[x（t）-x （t）]dt

≤ |x（t）-x （t）|  |f（t）|dt=||x-x ||  |f（t）|dt.

当x→x ，即||x-x ||→0时，f（x）→f（x ），故f在x 点连续.由x 的任意性得，f在C[-1，1]上连续.考察C[-1，1]中的如下函数列f ：

f （t）=n-|t|n ， |t|≤1/n，0，   |t|>1/n.

当t≠0时， f （t）=0，且  f （t）dt=1.设想f （t）的极限应当就是有广泛应用的δ函数，所以称f （t）为δ函数序列.但由于在t=0时， f （t）不收敛，故不能采用 f （t）来作为δ函数的数学定义.

在C[-1，1]的共轭空间来考察.δ函数序列f （t）对应于f （x）=  f （t）x（t）dt=  f （t）x（t）dt

=x（ζ ） （n-|t|n ）dt=x（ζ ），|ζ |<1/n.

当n→∞时， f （x）= x（ζ ）=x（0），

即在C[-1，1]的共轭空间中，f （x）的极限函数（记为δ（x））应是C[-1，1]的如下泛函：

δ（x）=x（0），？坌x∈C[-1，1].

这就是δ函数严格的数学定义.因此有些事情借助共轭空间可以办到，而在原空间却是不可能做到的.

四、内积空间的新定义

我们从另一个角度看内积的定义.先看下面的例题.

例 设x=（ζ ）∈l ，x=（η ）∈l ，则

||x+y|| = ζ +η |

= ζ | + ζ   + η   + η | ，||x-y|| = ζ -η | = ζ | - ζ   - η   + η | .

上面两式相加得到所谓的平行四边形法则：

||x+y|| +||x-y|| =2||x|| +2||y|| .

五、理解点列的弱收敛

点列的弱收敛是一个比较难理解的概念.先看一下什么是弱收敛.

设X是赋范线性空间，x ，x∈X.如果对任一x ∈X，都有 x （x ）=x （x），則称x 弱收敛于x，记作x x.

要理解弱收敛的原始意义，我们看Riemann-Lebesgue引理：设f∈L [0，2π]，则

f（x）cos（nx）dx=  f（x）sin（nx）dx=0.

这个引理最早是由Riemann在1876年提出来的，而一般的情形即f∈L 则是由Lebesgue在1903年提出的.从这个引理可看出{cos（nx）}或{sin（nx）}的极限并不存在，这些函数要收敛必须借助积分，这正是弱收敛的原始意义，而其极限称之为弱极限，即cos（nx） 0或sin（nx） 0.

上面是我们在教学中的一些体会.总之，要培养学生的创造精神和解决问题的实际能力，就必须加强基本概念的教学，培养学生勤奋读书、刻苦钻研、求实、严谨的学风，以提高其学习兴趣和数学素养，当然更重要的是要通过实践.在数学教学过程中，鼓励学生相互探讨、相互争论，大胆提出不同的思想和方法，并进而推动学生解决一些理论和实际的问题，亲身体验数学的创造过程，取得在书本上所无法获得的宝贵经验.