小波分析中一类滤波器的构造

王 乔， 崔 丽

(北京师范大学数学科学学院，北京 100875)

小波分析中一类滤波器的构造

王 乔， 崔 丽

(北京师范大学数学科学学院，北京 100875)

通过对多分辨分析性质的讨论，提出了使用数值方法修正初始滤波器得到紧支集正交滤波器的方法。可以针对任何紧支集滤波器进行迭代，自动得到消失矩更高、质量更优的滤波器。基于Legendre多项式，构造一组平移正交系，在得到初始滤波器后进行修正，获得消失矩为2的滤波器。与db3小波进行处理一维信号和二维信号的对比检测，实验证明该滤波器在图像边缘处理中有效。

小波分析；滤波器；数值方法；紧支集；Legendre多项式

有效滤波器在信号处理、图像分析等领域有重要应用。小波分析和滤波器之间有着内在的相互关系。在1989年，Mallat提出了多分辨分析的理论框架，Daubechies[1]在这个框架之下给出了紧支集小波构造的理论方法，自此基于小波分析的滤波器的构造成为一种获得滤波器的有效方法。有紧支集双正交小波滤波器的构造[2]，基于二代小波(lifting)的滤波器的构造[3-4]，基于紧支集优美结构滤波器的设计[5]等研究。目前工程应用领域滤波器的构造仍然是非常重要的内容，且是研究的热点[6]。

小波分析理论中一个重要的环节就是研究各式各样的滤波器，并不是任意一组数据都可以当作滤波器使用的，在现实中，如果给出的数据并不能充分满足要求，那么就需要对数据进行修正，得到一个较为理想的滤波器。因此本文提出一种基于Legendre多项式通过数值计算逐步修正来获得紧支集正交滤波器的方法。

1 相关背景知识

经典小波分析理论出发点是多分辨分析(multi-resolution analysis，MRA)，其定义如下[7]。

定义1. L2(R)中的闭子空间序列称为一个正交多分辨分析，如果它满足以下条件：

(3) 由 ϕ( t)、Gn及双尺度方程式(2)确定ψ(t)。

2 初始滤波器选取

由定义可以看出，找到一个函数要具备尺度函数所有的性质不是一件明显直接的事情。不过如果降低要求，寻找一个符合部分性质的“初始尺度函数”还是有可能的。考虑“初始尺度函数”先满足条件(5)，即使其平移正交。已知[–1,1]内Legendre多项式是两两正交的，

由如下递推式给出：

然后做平移伸缩变换：t=2x–1，使其成为[0,1]区间上的正交系。

若定义：

故此时

这里取定N=6，计算结果如图1所示。

图1 初始尺度函数

表1 准滤波器

再由相关背景知识中的构造算法，得到“准小波函数”ψ(x)(如图2)。

图2 准小波函数ψ (x)

3 滤波器系数的修正

3.1 滤波器的相关理论通过滤波器构造出小波函数的充分条件为[7]：

p阶小波的消失矩在时域中也有如下表示[8]：

然而对之前的“准滤波器”系数的检查，发现其并不满足前两个充分条件，进而消失矩无从谈起，因此需要找相近的满足条件的滤波器系数来近似“准滤波器”。

3.2 滤波器的数值计算方法本质上来说，有限滤波器是满足一个方程式(3)～(5)的解，且是满足式(5)中的p越高越好的一个解。最速下降法是解方程的常见且有效的方法[9]。下面就在这个例子下，说明如何通过最速下降法求解出滤波器。这里由于滤波器h有7个分量，故使p取2，用最速下降法解含7个未知量7个方程的方程组，迭代找到一个解即可。

步骤 1. 记：

步骤 2. 选取初值 h0为上面得到的“准滤波器”，计算 f(h)=f(h0)。

步骤 3. 计算f在f(h0)点的导数 f′=f′(h0)。

步骤4. 计算 g0=2f′Tf′。

步骤 5. 计算v=f′g0，q=vTv，λ=fTv/q。

步骤 6. 计算Δh0=-λ，h1=h0+Δh0。

步骤 7. 计算f=f(h1)。

步骤 8. 判断：若Φ=fTf≈0，则计算停止；否则h0←h0，转向步骤3。

使用此处的例子，由“准滤波器”h得到滤波器hstd，两者对比如表2。

表2 滤波器系数处理前后的对比

4 尺度函数和小波函数的构建

有了修正后的滤波器系数，就可以进行尺度函数的构建。使用自卷积的方法实现计算、构造尺度函数的过程[8]。先将算法中的阶梯曲线改为折线，得到尺度函数，如图3所示。再进一步使用双尺度方程进行计算得到小波函数，如图4所示。

图3 修正后尺度函数

图4 修正后小波函数

而且经过数值计算：

故这是一个较为理想的尺度函数和小波函数的构造。

5 小波函数检验

5.1 一维信号的检验

以MATLAB中的sumsin信号作为研究对象验证小波对信号的处理效果。选取db3小波作为对照，分别选取“准滤波器”和修正滤波器对信号进行分解处理。图 5～7中每幅图由上至下分别代表原始信号、低通分解信号和高通分解信号。

通过对比可以发现，修正前的“准滤波器”在数据处理中存在着较大的缺陷，而修正后的滤波器可以较为正确的分解原信号，没有明显的瑕疵。故滤波器的系数是合适的，由此构造出的小波函数可以用于信号的处理。

图5 db3小波处理

图6 “准滤波器”h处理

图7 滤波器hstd处理

5.2 二维信号的检验

下面对构造出的滤波器对图像加以简单处理，观察它的作用。二维中的滤波器选取张量积形式，即4个滤波器对图像进行滤波。再选取经典小波db3的滤波器 hdb3生成的二维滤波器进行对比作为参照。

5.2.1 黑白图像的检验

对黑白图像处理中，为了更清楚的显示其差别，把两者高频分解部分都做相同的灰度拉伸，效果如图8～10。可以发现，和对照组db3小波生成的滤波器处理的图像相比，由本文算法生成的滤波器可以较好地反映图像中米粒的边缘部分。

图8 原始图像

图9 db3滤波器分解

图10 本文滤波器分解

5.2.2 彩色图像的检验

对彩色图像处理中，为了更清楚地反映区别，把两者的高频分解部分都先转化为灰度图，再做相同的灰度拉伸，效果如图11～13。

结果是和处理黑白图像类似的。和对照组db3小波生成的滤波器处理的图像相比，由本文算法生成的滤波器仍然可以较好地提取图像中洋葱和青椒的边缘部分。

图11 原彩色图像

图12 db3滤波器分解

图13 本文滤波器分解

6 结 论

本文从Legendre多项式出发，提供了由初始滤波器迭代构造滤波器的方法。数值实验证明本文算法计算滤波器的方法是有效可行的。由本文算法构造的滤波器较db3小波能更好地反映图像的边缘，为边缘提取提供了一类新的滤波器。

[1] Daubechies I. Ten lectures on wavelets [M]. 2nd ed.Montpelier Vermont： Capital City Press, 1992： 167-214.

[2] Cohen A, Daubechies I, Feauveau J C. Biorthogonal bases of compactly supported wavelets [J]. Communications on Pure and AppliedMathematics, 1992,45(5)：485-560.

[3] Abdukirim T, Abulikemu A, Eziz T, et al. Lifting dyadic wavelets and design of decomposition filters withShort length [C]//IEEE International Coference on ComputerScience and Automation Engineering, 2011： 517-520.

[4] 张海英, 范志强. 提升二进小波滤波器的构造方法研究[J]. 计算机与现代化, 2013, (1)： 22-24.

[5] 彭立中, 王永革. 具有优美结构的紧支正交小波的构造[J]. 中国科学E辑： 技术科学, 2004, 34(2)： 200-210.

[6]Meher P K, ChandrasekaranS, Amira A. FPGA realization of FIR filters by efficient and flexibleSystolization using distributed arithmetic [J]. IEEE Transactions onSignal Processing, 2008, 56(7)： 3009-3017.

[7] 张国华, 张文娟, 薛鹏翔. 小波分析与应用基础[M].西安： 西北工业大学出版社, 2006： 29-40.

[8] 杨福生. 小波变换的工程分析与应用[M]. 北京： 科学出版社, 2006： 91-95, 211-214.

[9] 徐翠微, 孙绳武. 计算方法引论[M]. 3版. 北京： 高等教育出版社, 2004： 28-232.

Construction of A Class of Filter in Wavelet Analysis

Wang Qiao, Cui Li
(School ofMathematicalSciences, Beijing Normal University, Beijing 100875, China)

This paper presents numericalMethods of correcting the initial filters into compactlySupported orthogonal filters by the discussion ofMulti-resolution analysis. The algorithm can iterate for any compactlySupported filters, producing better quality filters with higher vanishingMoment automatically. Based on Legendre polynomials, we construct aSet of translation orthogonalSystem, and on the correction of certain initial filters, we obtain the filters with vanishingMoment of two. Then weMake a detection on the obtained filters about dealing with one-dimensionalSignals and two-dimensionalSignals by contrast with db3 wavelet, and the experiment proves that the filters have an effect dealing with the edges of images.

wavelet; filter; numericalMethod; compactlySupported; Legendre polynomials

TP 301.6

A

2095-302X(2015)02-0257-05

2013-10-30；定稿日期：2014-01-08

国家自然科学基金资助项目(11001017)

王 乔(1992–)，男，黑龙江七台河人，本科。主要研究方向为计算数学。E-mail：qwang@mail.bnu.edu.cn

崔 丽(1978–)，女，黑龙江安达人，副教授，博士。主要研究方向为小波分析理论及其应用。E-mail：licui@bnu.edu.cn