基于流体静力学的区域分割活动轮廓模型

黄文钧

(1. 广西民族大学信息科学与工程学院，广西 南宁 530006 2. 广西混杂计算与集成电路设计分析重点实验室，广西 南宁 530006)

基于流体静力学的区域分割活动轮廓模型

黄文钧1,2

(1. 广西民族大学信息科学与工程学院，广西 南宁 530006 2. 广西混杂计算与集成电路设计分析重点实验室，广西 南宁 530006)

提出一种新的活动轮廓模型，应用于灰度图像的区域分割。对于定义在灰度图像上的闭合连续简单曲线，该模型应用流体静力学理论直接驱动，使其不断地缓慢收拢，直至收敛于区域边界。在这个过程中，闭合连续简单曲线所经历的像素都被该模型根据像素性质判定其区域归属。重新初始化有关变量，激活已收敛于区域边界的闭合连续简单曲线，继续驱动闭合连续简单曲线收拢，直至该曲线收敛于内嵌的新区域边界或者收敛于一个点。在该模型运行过程中，一条闭合连续简单曲线可能会分裂成多条闭合连续曲线，以适应多区域分割。当一条闭合连续的简单曲线经过模型持续驱动之后收敛于一个点时，被其包围的区域分割才告结束。本文提出的模型能够分割多区域和嵌套区域。

区域分割；活动轮廓；流体静力学；图像分割

图像分割是将一幅图像划分成若干个互不相交的区域，使得灰度、彩色、纹理等特征在同一个区域内表现出一致性或相似性。图像分割方法有基于边缘的、基于区域的、基于纹理的等等。基于区域的分割方法，受边缘的影响较小，优于基于边缘的分割方法。经典的区域分割法当属“区域生长法”[1]，该方法简练，但有自身的弱点，譬如种子像素比较难确定。自从活动轮廓方法兴起[2]，基于区域分割法有了新的模型和算法。文献[3]提出了基于区域相似性的活动轮廓合成孔径雷达(synthetic aperture radar，SAR)图像分割模型：首先将原始图像过分割成同质子区域集合；然后结合强度和纹理信息真实度量子区域的成对相似性，并以此定义能量泛函；最后实现SAR图像的有效分割。文献[4]提出了基于局部信息的几何主动轮廓(geometric active contour，GAC)模型：将图像区域局部化，构造局部符号压力函数指导轮廓线收缩与扩张。文献[5]利用图像局部信息，定义一种新的符号压力函数，对GAC模型进行改进，提出一种新的区域活动轮廓模型，以解决非同质或弱边界图像分割问题。文献[6]提出一种水、陆区域分割的活动轮廓模型，该模型通过引入基于梯度的边缘引导函数，提升对水、陆区域边缘的捕捉能力和抗噪音干扰能力。文献[7]利用局部图像统计信息来代替 C-V(Chan-Vese)模型中的全局灰度均值，以此方法分割灰度不均匀的图像。文献[8]提出一种基于模糊聚类和活动轮廓相结合的区域分割模型。文献[9]针对多相C-V模型中计算复杂度高、对初始轮廓选取位置敏感、分割不精确等问题，在区域梯度算法的基础上，引入自适应权重项对拟合中心进行加权计算，给出一种改进的自适应C-V模型。文献[10]利用两个水平集函数产生两条闭合曲线，一条取目标区域，另一条取背景区域。

本文将讨论基于区域分割的新模型：基于流体静力学原理的活动轮廓区域分割模型。本文从一个基于流体静力学原理的物理模型入手，再导出对应的数学模型。

1 流体静力学基本知识

(1) 流体处于静止状态时，作用在流体表面上的表面力只有压力。

(2) 流体静压力的两个特性：流体静压力的方向必沿作用面的内法线方向；流体中任意一点所受的各方向压力相等。

(3) 欧拉(流体)平衡微分方程式：

其中，fx、fy、fz分别表示质量力在x轴、y轴、z轴上的投影分别表示流体静压力在x轴、y轴、z轴方向单位距离上压强的变化率；ρ表示流体密度。

该方程式表明流体处于平衡状态时，单位质量流体所受的表面力与质量力彼此相等。

(4) 静止流体中凡压强相等的各点联结起来组成的平面或者曲面称为等压面。

2 基于流体静力学原理的模型

物理模型：

(1) 将一组刚体装入一个具有优良弹性的薄橡皮口袋中，将该口袋密封。

(2) 将这个已密封的口袋，连同里面的刚体一起，浸没入一个具有足够深度的湖中，在水压力足够大的位置悬停。这时该口袋，连同其中的刚体，处于平衡状态。

(3) 通过此口袋以及其中的所有刚体，作一个理想的等压剖面。在这个理想的等压剖面上，含有该口袋的一个确定剖面(是一条封闭的平面曲线)、内部空间的一个确定剖面、所有刚体的确定剖面(每一个刚体剖面均为一个平面区域)。

(4) 缓慢地抽出这个口袋里的空气，这时该口袋上各点在其内法线方向上承受的合力逐渐增大，平衡状态被打破，该口袋上各点沿着自己的内法线方向从外向里缓慢移动，逼近内部的刚体；这个过程反映到该等压剖面上，出现一个相应现象：口袋剖面上的任意一点，在其内法线方向上承受的合力越来越大，迫使该点沿着自己的内法线方向从外向里缓慢移动，带动曲线从四周向里缓慢收缩，逼近内部的刚体剖面。

(5) 随着口袋里的空气逐渐稀少，在流体压力以及橡皮弹力的作用下，此口袋从各个方向向内部的刚体缓慢逼近，逐渐将各个刚体隔离；和上述的情形相似，反映到该等压剖面上，也出现一个相应现象：口袋剖面从四周向内部的刚体剖面缓慢逼近，逐渐将各个刚体剖面隔离。(6) 当口袋里形成真空时，在静水压力以及橡皮弹力的作用下，口袋的内表面将粘在刚体的表面上，或者内表面相互粘贴在一起，口袋里将没有任何缝隙。由于物品是刚体，不可压缩，根据欧拉平衡方程式，口袋将处于新的平衡。相应地，等压剖面上的口袋剖面，一条闭合曲线，其内部也没有任何缝隙，曲线粘在刚体剖面的轮廓上，或者内侧粘贴在一起。此时，在该等压剖面上，剪掉那些联结在两个刚体剖面之间的曲线段，即得到各个刚体剖面的分割。模拟上述物理模型的数学模型：

(1) 定义如下几个变量：i，j，m，n，s，t，x， y，Δs，

(2) 设一幅灰度图像为：

其中，1≤i≤m，1≤j≤n，[m,n]=size(I)，m,n≥1。这幅图像模拟物理模型的等压剖面。

(3) 在该灰度图像平面上定义一条简单闭合连续曲线：

其中，t(t≥0)表示时刻，(x(s,t)，y(s,t))表示曲线上的点。

(4) 在曲线 C(s,t)上定义一个函数并将其初始化：

模拟物理模型中的口袋剖面各点初始所受的流体静压力。

(5) 将曲线C(s, 0)包围灰度图像I的目标，模拟口袋剖面包围刚体剖面。

(6) 定义如下偏微分方程(partial differential equation，PDE)为驱动曲线C(s,t)的数学模型：

(7) 应用偏微分方程(*)驱动曲线C(s,t)：将偏微分方程(*)应用于闭合曲线 C(s,ti–1)上任意一点(x(sj,ti–1),y(sj,ti–1))，可产生曲线C(s,ti)的相应一个点：(x(sk,ti),y(sk,ti))：=(x(sj,ti-1),y(sj,ti-1))+∂t×α×β

其中：

将此点(x(sk,ti) ,y(sk,ti))添加到曲线 C(s,ti)的相应位置，并且记录此点对应的“α×β”：

(8) 如果曲线 C(s,ti)上任意相邻两点(x(sk,ti),y(sk,ti))和(x(sk–1,ti),y(sk–1,ti))满足下面不等式：

则用曲线：

连接并加入到曲线C(s,ti)之中，其中：

函数 Ic(x,y)在这段连接曲线上的取值保持不变。

(9) 如果闭合曲线C(s,ti)除了端点之外，还有另外重合点，则将曲线 C(s,ti)裁剪成几条简单闭合曲线，从中选取那些周长大于预定阈值CL(＞0)的简单闭合曲线，连同在它们上面定义的函数Ic(x,y)，一起存储于集合W中。如果集合W非空，从集合W中取出其中一条曲线，仍记为C(s,ti)。

(10) 计算下面表达式：

若最小值min随t值增大而未趋于稳定，则跳 转第(7)步继续驱动曲线C(s,t)；如果最小值min为零或者随 t值增大而趋于稳定，暂停对曲线 C(s,t)的驱动，并进行如下处理：

并跳转第(7)步继续驱动该曲线 C(s,t)，搜索嵌套的区域。如果曲线 C(s,t)的周长|C(s,t)|过短，即|C(s,t)|＜CL，则被此曲线包围的区域不予考虑，当噪音处理，放弃此曲线。

(11) 如果集合 W不空，从中取出一条曲线并记为C(s,ti–1)，跳转第(7)步继续执行。

(12) 结束。

3 模型分析与讨论

物理模型中的“等压剖面”实际上是一个水平面，在该水平面上的口袋剖面是一条闭合的橡皮曲线，如果不考虑质量力，曲线上任意一点，未接触刚体剖面边缘之前，只受两个力：一个是朝内法线方向的静水压力，另一个是朝外法线方向的气体压力。

在抽出该口袋里的空气之前，该曲线上任意一点都处于平衡状态，此时根据欧拉方程可以推知：曲线上任意一点在法线方向上合力为零。在“缓慢地”抽出空气过程中，静水压力不变，而气体压力变小，曲线上的点在法线方向上所受合力不为零，原平衡状态被改变，曲线上的点发生位移。由于抽出空气过程“缓慢”，流体状态依然可以看成“静态”，曲线上任意一点所受的静水压力和气体压力依然朝着法线方向。随着气体压力缓慢变小，曲线上任意一点在静水压力和气体压力的合力作用下朝内法线方向缓慢移动，带动着整条曲线缓慢地演变。曲线的任意一点，如果在内法线方向上没有障碍物，则受力大小相等，在同一个时间间隔内移动的距离也相等。曲线上的点沿内法线方向移动时若碰上刚体边缘，受边缘惯性力和流体压力在法线方向上的合力(合力为零；该点所受气体压力为零)作用，该点停止移动，根据欧拉平衡方程，该点在曲线后续演变的过程中保持平衡。

本数学模型是上述物理模型的模拟，其中的灰度图像I(i,j)对应物理模型的“口袋内部空间剖面”；灰度图像I(i,j)的目标区域对应“刚体剖面”；曲线C(s,t)对应“口袋剖面”，非目标区域对应口袋内部空间(不含上述的刚体)的剖面。

偏微--→分方程(*)驱动曲线 C(s,t)上的点沿着内法线方向N缓慢移动，模拟口袋剖面在静流体压力作用下缓慢收缩过程。

偏微分方程(*)的变量 β，其值与函数(也可以看成变量)Ic(x(s,t),y(s,t))的值相同。设该变量β，是为了方程(*)书写简洁。该变量表征曲线上的点是否已接触目标区域边缘：β=0表征曲线C(s,t)上的点(x(s,t),y(s,t))已接触目标区域边缘，不再移动(x(s,t+Δt),y(s,t+Δt))：=(x(s,t),y(s,t))，同时Ic(x(s,t+Δt), y(s,t+Δt))：=0，β：=0。以此方法模拟口袋剖面上的点，接触刚体边界后的平衡状态；β=1表征曲线C(s,t)上的点(x(s,t),y(s,t))目前(时刻t)是否接触目标区域边界尚未确定，需要在时刻 t+Δt结合变量 α (见数学模型第(6)步)加以考察：如果参数α=0，则β×α=0，表明该点(x(s,t),y(s,t))已接触目标区域边界，不能再移动，此时，有：(x(s, t+Δt),y(s,t+Δt))：=(x(s, t),y(s,t)),Ic(x(s, t+Δt),y(s, t+Δt))：=0，β：=0。如果α=1，则β×α=1，表征曲线C(s,t)上的点(x(s,t),y(s,t))未接触目标区域边界，仍然可以沿内法线方向移动(见偏微分方程(*))，此时，Ic(x(s, t+Δt),y(s,t+Δt))：=1，β：=1。以此方法模拟口袋剖面上的点，未接触刚体边界之前，仍沿流体静压力方向移动。

在本数学模型里，所有的区域都被暂时当成目标区域，都要被分割出来。本模型认为：灰度图像的目标区域是一个平面区域，有一定的面积，也有一定的周长。因此，预先给目标定义一个判别标准，预设一个正整数阈值。在闭合曲线演化的过程中，若发现曲线周长小于该阈值，就可以认为该闭合曲线内部无目标区域，可放弃该曲线。曲线的长度以点(像素)的数目表征。

当曲线上某个像素的内法线方向和直线y=x或y=–x平行时，沿此像素内法线方向的最邻近像素，和该像素的距离等于，大于一个像素距离，这时此像素要选取向内水平方向或竖直方向为移动方向，以保证

事实上，本文模型是用新方法来实现区域生长。区域生长法是这样表述：先对每个需要分割的区域找一个种子像素作为生长的起点，然后将种子像素周围邻域中与种子像素有相同或相似性质的像素(根据某种事先确定相同或相似准则来判定)合并到种子像素所在的区域中。将这些新像素当作新的种子像素继续进行上述过程，直到再没有满足条件的像素可以被包含进来为止。这样一个区域就长成了。

要实现区域生长法，需要解决3个基本问题：①选择或确定一个或一组能正确代表所属区域的种子像素；②确定在生长过程中能将相邻像素包括进来的准则；③制定让增长停止的条件或准则。然而，在事先不了解区域属性或范围的情况下，第①个问题就很难解决。事实上，对于一幅图像，是由若干个区域组成，2个相邻区域之间有可以分辨的边界。如果将这些区域分类，可以分成2类：目标区域和非目标区域。要确定目标区域，有2条途径：①直接分割出所有目标区域；②分割出所有非目标区域。在这2条途径当中，任意选择其中一条都可以实现目标区域分割。对于图像上的任何一个像素，在确定的某一时间段内，也只有2种归属：属于目标区域或属于非目标区域。综合以上讨论可以得出一个结论：图像内任何一个还没有归属的像素，都可以作为区域的种子像素。本文模型初始化时需要在图像边缘上定义一条连续的、闭合的简单曲线，包围整幅图像。根据上述讨论，这条曲线上的像素可以作为初始种子像素。本文模型还需要定义一个阈值，作为2个准则的基准：当种子像素与相邻像素的灰度差(绝对值)小于该阈值，则将该相邻像素包括进来；反之将该相邻像素作为新区域的边界。

包围图像的闭合曲线，在流体静压力(模型中的微分方程)的驱动下，缓慢收缩，所包围的范围越来越小，所有像素都将被曲线访问，对照“相同或相似性质”，每一个像素都有一个确定的区域归属。当所有的闭合曲线都收缩成点以后，图像中所有像素的归属已全部确定，到此区域分割完成。

4 实验及对比

本实验所用的电脑参数为：Intel(R) Xeon(R)CPU E31230@3.20 GHz；内存2 G。采用MATLAB语言编程，用其中的函数cputime()计时。在互联网以及文献[6]上各取了2幅图作实验(见图1)，验证算法的有效性，同时也是为了对比。实验表明本文模型有效(见图2)，分割质量比较好，可控制噪音干扰(把噪音当目标区域分割，然后根据面积大小决定取舍)，但迭代次数比文献[6]的多，原因是本模型不管原图像的灰度均匀还是变化复杂，都要遍历图像全部像素，分割所有区域。

图1 本文模型实验用图

图2 本文模型的实验结果

表1给出了相关的实验数据。

表1 两种模型的实验数据对比

5 结 论

本文模型能够分割背景和目标近似于二值的图像、背景和目标灰度比较复杂的图像和分割嵌套的目标和多目标区域；分割的区域轮廓线基本完整。收敛性稳定，只要初始活动曲线包围了目标区域，经过一定次数的迭代该活动曲线都能够收敛于目标区域边界；一旦活动曲线收敛于区域边界，即使迭代次数继续增加也不会改变该活动曲线的位置，因此也有效控制了过分割现象的发生。抗噪性比较强，即使比较稠密的噪音也不会影响活动曲线收敛于目标区域边界的性能，但是模型迭代次数会增加、收敛速度会减慢。

(本文实验用图来自国际互联网和参考文献，本文作者向这4幅图的作者表示衷心的感谢！)

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An Active ContourModel Based on FluidStatics for Region-BasedSegmentation

Huang Wenjun1,2
(1. College of InformationScience and Engineering, Guangxi University for Nationalities, Nanning Guangxi 530006, China; 2. Guangxi Key Laboratory of Hybrid Computation and IC Design Analysis, Nanning Guangxi 530006, China)

A new active contourModel for region-basedSegmentation of grayscale image is proposed in this paper. ThisModel bases on the theory of fluidStatics. TheModel uses the theory of hydrostatic to drive a closed continuousSimple curve defined on a gray image and contracts the curve constantly until the curve converges to a region boundary. In this process, the pixels of the closed continuousSimple curve areSorted intoSome regions by theModel according to the nature of the pixels. Reinitializing the related variables and activating the closed continuousSimple curve which has converged to the boundary of the region, theModel continues to drive the curve until the curve converges to the boundary of a new embedded region or converges to a point. In the process of driving aSimple closed continuous curve by theModel, the cureMay beSplit intoSome closed continuous curves. When a closed curve converges to a point, theSegmentation for the regionSurrounded by the closed curve is complete. ThisModel is able toSegmentMultiple regions, and able toSegment the regions which are in the interior of another region of a grayscale image.

region-basedSegmentation; active contour; fluidStatics; imageSegmentation

A

2095-302X(2015)02-0227-06

TP 391

2014-10-08；定稿日期：2014-10-30

黄文钧(1958–)，男，广西武鸣人，副教授，硕士。主要研究方向为图像分割。E-mail：hwjart@126.com