对“完全数”的思考

曾峻爵

完全数又称完美数，指的是某数所有真约数（除了该数本身之外的约数）之和为该数本身（如6=1+2+3，28=1+2+4+7+14）。在完全数简洁特性的背后，有着丰富的内涵与无穷的吸引力。

一、希腊人的错误

从6、28、496与8128四个连续的完全数中，富于想象力的希腊人看到了一些有趣的现象：它们分别为1、2、3、4位数，而且尾数为6或8交替出现。由此希腊人推断出，第n个完全数将是n位数，而且尾数是6或8，并交替出现。

遗憾的是，更多的完全数被发现，这两个猜测也不攻自破。例如，第五个完全数是33550336，是8位数（而不是5位），接下来的三个完全数分别为8589869056（10位）、137438691328（12位）、 2305843008139952128（19位）。可以看到，完全数的位数在增多，而第30个完全数赫然是个13万位数的庞然大物。同时假设二也不成立，第5、6个完全数的尾数都是6，并非以6、8交替出现。

二、完全数的特点

1.每个完全数都可用从1开始的连续奇数个正整数的和表示，如6=1+2+3。

2.除6之外，所有完全数都可用从1开始的连续奇数的立方和表示，如28=13+33。

3.一个完全数的所有约数的倒数和等于2。

欧几里得对完全数进行了一番研究，得出以下定理：

若 2p-1为素数，则（2p-1）2p-1是完全数，公式为（2n-1）2n-1，当n分别取2、3、5、7时，可分别得出6、28、496和8128 （前4个完全数）。

三、问题的提出

仔细审视上述公式发现：当得出前4个完全数时，n的值全是素数，而此时的2n-1分别为3、7、31、127，也全为素数。

在2000年后的18世纪，瑞士数学家尤勒更进一步地证明了该公式将给出全部的偶数完全数。于是人们不禁产生两个疑问：

1.是否存在奇数完全数？

奇数完全数猜想：到目前为止，人们所知道的完全数都是偶数，且都形如2p-1。谁也未发现过奇数完全数，但也没人能证明它不存在。总的来说，如果确实存在奇数完全数，它至少要满足以下条件：

（1）至少能被8个素数整除，其中最大的一个应大于300000，次大的也要大于1000。

（2）若它不能被3整除，至少应被11个素数整除。

（3）它是12k+1或36k+9的形式。

另外还有人借助计算机证明了，在1050之下不存在奇数完全数，据说这个下限正渐渐地被往上推。

2.完全数的个数是有限的还是无穷的？

对于这个问题，数学家们也进行了不懈的探索。

（1）梅森数

由欧几里得提出的定理可知：任意一个完全数都可以化为（2p-1） 2p-1的形式。欧几里得之后约两千年，法国数学家梅森毕生从事寻找2p-1型数（梅森数）。因为找到为质数的梅森数，也就找到了完全数，所以梅森的目标就是寻找2p-1型质数（p也必然为质数）。实际上他也找到了符合这种要求的数，如当p=17、19、31、89、107……时的梅森数便是。

（2）“互完数”的提出

有了完全数，随之出现“互完数”：即若m、n两数中任意一个的真因数之和等于另一个数，则称m和n为一对互完数。如220和284是一对互完数。

（3）“费尔马大定理”的形成

费尔马1640年10月18日在给弗雷尼克的信中提出了著名的费尔马大定理：

如果整数a不能被素数p整除，那么ap-1-1能被p整除，常记为ap-1≡1（modp）。

当n>2时，xn+yn=zn没有正整数解。如n不是素数，梅森数也不可能是素数；如n是素数，则梅森数未必是素数，但其素数因子只能是2kn+1的形式。

四、我的假设和推论

我坚信没有奇数完全数，因为我解决第一个关于完全数之谜与欧几里得定理紧密相连，而对于第二个完全数之谜，我只是推论，由于费尔马所作的猜想不能推翻就成为了定理，所以我就斗胆推一推，如果没有被推翻，那么第二个完全数之谜已解。

1.关于完全数的第一个推论

∵完全数定理已被提出，

假设：完全数=（2p-1）2p-1

∴任意一个完全数都可化为（2p-1）2p-1

∵2n为偶数，偶数-奇数=奇数

又 ∵1为奇数

∴（2p-1）为奇数 ，2p-1为偶数

又 ∵奇数×偶数=偶数

∴不可能存在奇完全数。

2.关于完全数的第二个推论

假设：质数有无限个，

又∵ 满足（2p-1）为质数的p值有无限个，

∴完全数的个数有无限个。

所以关于完全数的第二个谜已解。（指导老师：谢延昭）