集合最优插值方法在北印度洋海浪同化中的应用＊

曹 蕾，齐 鹏

（1.中国科学院 海洋研究所，山东 青岛266071；2.中国科学院 海洋环流与波动重点实验室，山东 青岛266071；3.中国科学院大学，北京100049）

北印度洋是世界著名的季风海区，也是重要的海运通道，对这一海区的海浪特征进行研究并做出准确的预报，具有科学意义和实用价值。我国目前对该海域海浪模拟的均方根误差（RMSE）为0.4m左右［1］，对海浪预报的均方根误差为0.5m左右［2］。利用同化技术将观测资料引入海浪预报模式是进一步提高海浪预报精度的重要途径之一。

Esteva［3］和Lionello等［4］最早尝试采用最优插值（OI）同化方法将SEASAT和GEOSAT高度计数据同化到海浪模式。由于OI方法是根据经验公式设定背景误差协方差的分布函数，使得背景误差协方差函数形式因海区而异［4－11］。除OI之外，滤波、变分同化和人工神经网络等方法也得到了发展。Evensen［12］提出了集合卡尔曼滤波（EnKF）法，鉴于其巨大的计算代价，又提出了集合最优插值［13］（EnOI）作为其次优方法，将EnKF所需的样本集合用静态的历史样本代替。因而，EnOI仅需对一个特定的样本进行分析，减少了计算资源和系统维护成本。目前将EnOI应用于温盐流模式已有不少工作［14－16］，但应用于海浪预报模式的工作几乎还未进行尝试。

选取合理的样本集合描述背景误差协方差是集合同化方法中重要的一步。集合样本的选取方案有多种。例如，在一定误差允许范围内将随机扰动叠加到风场初值上，利用所得到的风场序列驱动海浪模式而得到一组预报值，利用这些预报值组成的资料序列进行预报误差协方差统计；从长期积分的历史结果中进行一定时间间隔的采样组成样本集合，或者用具有一定时间间隔的不同时刻海浪场之差组成样本集合；而NMC法［17］是用同一时刻不同预报时效之差组成样本。

将EnOI同化方法嵌入第三代海浪模式WaveWatch III中，分别采用模式模拟有效波高（SWH）以及间隔24h的SWH之差产生不同的静态集合样本，将更为合理的采样方案应用于北印度洋海域海浪的同化模拟；此外，基于NMC方法用同一时刻不同预报时效的SWH预报之差作为集合样本，进行同化对海浪0～72h预报影响的评估。目前国内外鲜有将EnOI同化方法应用到海浪模拟和预报中的研究，因此本研究是一次很有意义的尝试。

1 模式与数据

采用全谱空间海浪模式WaveWatch III version3.14，研制了嵌入其中的EnOI同化模块，以及为了匹配双向嵌套而自主添加的同化接口（模式仅自带单网格同化接口）。在频率和方向二维谱空间上，频率的划分按如下公式：σm＋1＝1.1σm（m＝0，1，…，24），即划分25个频段，初始频率为0.041 8Hz；方向上按均匀网格划分，分辨率为15°。以北印度洋海域（包括南海）为目标研究区域，具体范围为（30°～120°E，15°S～30°N）。

我们同化实验包括海浪同化模拟和0～72h海浪同化预报。同化模拟实验采用全球与北印度洋目标区域双向嵌套方案，目标区域的空间分辨率为1/4°×1/4°，全球模式的空间分辨率为1°×1°；强迫风场来自美国国家大气研究中心（NCAR）计算与信息系统实验室（CISL）提供的交叉矫正多平台（CCMP）海面风场数据集，这些CCMP格点数据的时空分辨率分别为6h和1/4°×1/4°。在海浪同化预报实验中，采用美国全球预报系统（GFS）发布的72h预报风场（该风场由国家海洋环境预报中心提供），但其空间分辨率较低，仅为1/2°×1/2°，由此，海浪模式方面采用全球模式，其空间分辨率也取为1/2°×1/2°，进行全球海浪预报，但仅对北印度洋目标海域进行结果分析。

高度计有效波高观测数据来自于Jason－1，Jason－2和Envisat高度计沿轨SWH，根据实验不同应用于同化或结果检验。此外，用于同化效果检验的数据还有从印度国家海洋信息服务中心获得的锚定浮标数据（http：∥odis.incois.gov.in/index.php/in－situ－data/moored－buoy/moored－data），浮标位置见图1。

图1 目标计算区域、浮标位置和4个子区域Fig.1 Targeted computational domain，locations of the buoys and four sub－domains

2 同化方法

2.1 集合最优插值

EnOI同化方法是OI同化方法的改进，其思路与后者相似（图2），主要不同点在于背景误差协方差矩阵由样本集合计算得到而非经验公式给定。EnOI同化方法的分析方程为

式中，W为增益矩阵；P为背景误差协方差矩阵；R为观测误差协方差矩阵；Xa和Xb分别为有效波高的分析场和背景场；H为观测算子；d为观测场；α表示对背景误差协方差场赋予的权重；A为存储集合样本；N为集合成员数。定义存储在每一列的集合平均为，于是集合扰动量矩阵表示为A′＝A－；T表示转置。

最终分析场

EnOI方法的集合思想体现为利用一组在模式积分过程中不随时间变化的静态样本集合A＇来统计背景误差协方差。因而在进行EnOI同化之前准备好合理的样本是重要的步骤。下节中给出了不同的样本选取方案以进行讨论。同化过程中海浪谱重构方案参考Esteva［3］以有效波高分析场与背景场之比的平方为系数对二维谱进行缩放。

图2 基于EnOI方法的海浪数据同化过程示意图Fig.2 Schematic diagram of EnOI－based wave data assimilation

2.2 样本选取方案

样本集合通常取自历史积分的模式结果，这一做法在环流模式中较为普遍［14－16］，适用于变化缓慢的状态量，例如温度场和盐度场。根据EnOI方法在环流模式中的经验，对于季节变化显著的模式变量，选取距平样本或季节样本能更好地反映背景误差协方差场的季节特征［18］；调整参数α可使由样本决定的背景误差方差保持在合理量级，避免采样时间尺度与预报时间尺度不一致导致样本的气候态方差相对于实际误差有偏差，一定程度上也可以弥补采样方案不够合理而引起的误差方差变化；设置合理的影响半径，假设影响半径之外的区域不存在相关性，避免虚假的长距离相关。

本文给出如下样本选取方案，前两种适用于海浪模拟，第三种适用于业务化海浪预报。考虑到目标海域为典型的季风海域，选取季节样本以突出不同的季节特征，即样本随季节更新。

2.2.1 样本 A

以季节为单位，随机选取不同时刻有效波高组成集合，以该集合均值作为有效波高真值的近似，并以二者之差组成背景误差的样本集合。显然，该方案是将偏离集合平均的距平值近似为背景误差。文中从海浪无同化模拟实验历史结果，即2008—2010年每年1－3月每日00：00的有效波高场中随机抽取92个样本组成冬季样本集合。其他季节做法类似。

2.2.2 样本B

将间隔一定时间的两个时刻的海浪场之差作为样本，即找到合适的时间间隔，使间隔一定时间的两个时刻的海浪场之差量值与背景误差量值相当，作为后者的估计值。任启峰［19］基于LAGFD－WAM 海浪模式将间隔24h的有效波高之差作为背景误差的近似。同样地，本文也将时间间隔设置为24h（称为24h变化），表示在强迫场持续影响一定时间后所表现出来的状态场与之前状态场的差别。24h变化应主要受风场变化的影响，仅从统计上寻找背景误差的最佳估计。从海浪无同化模拟实验历史结果中选出样本，文中取2010－01—03每日00：00与前日00：00SWH场之差共87（30＋27＋30）个样本组成冬季样本集合。其他季节做法类似。

2.2.3 样本C

采用NMC方法［17］进行背景误差集合采样，以同一时刻72h预报时效和24h预报时效的有效波高之差作为背景误差最佳估计，称为样本C。从海浪无同化预报实验历史结果中选出样本，文中取2012－07—2013－06每日12：00的72h预报时效和24h预报时效的SWH场之差组成各对应季节的样本集合。

样本A相当于公式（2）中的矩阵A，而样本B和样本C相当于公式（3）中的矩阵A′。与观测法相比，集合法求背景误差协方差其最大的不足之处是从统计上寻求最佳估计，因此需要对样本的合理性进行检验。

3 结果分析

3.1 样本检验

分别计算样本A和样本B的均方根误差、各向同性和各向异性假设下背景误差的相关长度的空间分布和季节变化，并与采用Jason－1高度计资料所得观测法结果［20］进行比较。海浪模拟和预报的背景误差不仅与模式有关，同样受强迫场影响，其中风场误差起了重要作用。曹蕾等［20］研究中观测法相关长度由CCMP风场驱动得到，因此可用于本文样本A和B的检验，但不适合于样本C的检验，因为样本C来自GFS强迫场结果。为此将样本C所得背景误差估计与Jason－2高度计沿轨SWH和24h预报之差进行比较。

3.1.1 样本A和样本B

观测法结果［20］与样本A所得年平均均方根误差之比为0.6，说明样本A对目标海域的背景误差估计整体偏高。偏差较大的点主要出现在阿拉伯海域（春、夏）和南海（秋、冬）。对集合样本B与观测法的季节平均均方根误差的结果比较是按图1中4个子区域（区域1：30°～105°E，5°S～30°N；区域2：105°～122°E，5°S～30°N；区域3：30°～105°E，5°～15°S；区域4：105°～122°E，5°～15°S）分别进行的，各季的散点图比较结果见图3。观测法的年平均均方根误差与样本B的年平均均方根误差之比为0.97，二者在区域1有较强的一致性（图3）。但在南海的秋冬季节样本B结果明显偏大而春季偏小。各向同性假设下的相关长度一定程度上能够代表其相关系数在各个方向上的平均水平。本文采用Mastenbroek等［5］给出的公式，由样本A计算得到年平均相关长度为观测法结果的2倍；样本B年平均相关长度与观测法结果之比为1.03，主要差别出现在南海海域。以上两方面的比较表明样本B选取方案优于样本A。

下面在各向异性假设下采用椭圆型结构的非线性自回归函数描述样本B体现的背景误差相关系数的空间分布。假定两点之间相关系数与距离和方向同时有关，采用Greenslade等［21］提及的简化非线性自回归函数（公式（4））得到椭圆型相关性结构：

其中

式中，d表示两点之间的球面距离；θ表示两点连线与正北方向的夹角；参数a1反映了椭圆的离心率，其值偏离数值1越大则椭圆扁平程度越高；a2反映了椭圆的倾斜度；a3定义了一种衰减长度，体现出相关系数随距离和角度的衰减速度；r表示两点间距离。

图3 基于集合样本B与观测法的季节平均均方根误差结果比较Fig.3 Comparisons of the seasonal mean RMSE based on Ensemble－B with those by the observational method

图4 各向异性假设下样本B的背景误差相关系数0.8等值线Fig.4 Contour 0.8of anisotropic background correlation coefficients for Ensemble－B

样本B于各网格点上的背景误差相关被拟合到上述分析函数，选取0.8等值线画出椭圆形状（图4）。等值线上各点坐标与经纬度坐标直接对应，虽因为投影规则使得形状失真，但与经纬度坐标的对应关系不变。椭圆倾斜方向与季风风向有很好的一致性，且风速大的海域衰减长度更长，椭圆扁平程度更大。北印度洋海域在夏季风盛行期间衰减长度最大，最大值中心出现在北印度洋东南海域和阿拉伯海，对应风速的高值区；冬季风盛行期间衰减长度高值位于索马里以东和阿拉伯海域。南海海域衰减长度的分布与季风强弱变化也有好的对应关系。然而在部分海区所得背景误差椭圆形相关结构倾斜方向存在问题，如春季阿曼湾入海口和部分季节南海中部，这其中拟合误差占主要因素。

3.1.2 样本C

首先将模式模拟的全球24hSWH2012－07—2013－06预报结果与Jason－2高度计沿轨观测SWH进行比较，对全球范围内沿轨观测点进行统计得到均方根误差和相对误差分别为0.41m和22%，说明海浪预报结果较为合理。在无同化实验中，24h预报场也即是下次预报的初始场。对任一沿轨观测点进行统计，假设观测误差与背景误差不相关，观测与24h预报之差的平方是观测误差方差与背景误差方差之和，即：

式中，d表示观测值；d24表示插值到观测点上的24h预报值；dtrue表示观测点上有效波高的真值；N表示该观测点上的统计个数。观测误差方差取平均值0.122m2［22］，求得模式模拟的背景误差的标准差（SD24h）。同时求得样本C估计的背景误差方差和背景误差标准差（SDC）。样本C定义的SDC与SD24h相比的结果见图5。图中等值线为散点个数，发现样本C所得偏小，两者均值之比为0.56。前者乘以1/0.56调整后，两者量值相当。这表明，样本C体现的背景误差方差偏小，EnOI同化时需要经过α＝1/（0.562）≈3的系数调整。

为考察样本C估计的背景误差相关系数随距离变化的情况，对任一观测点j进行统计，利用公式（8）估计与同一轨道上另一观测点k上观测与24h预报之差的相关系数为Ro（j，k）：

类似求得样本C估计的背景误差相关系数RC（j，k）。综上求得观测点j处的Ro（j，k）与RC（j，k）二者的相关性，对整个目标区域进行统计，二者相关性的均值为0.8，即样本C估计的背景误差相关系数随距离变化情况与由高度计数据确定的24h预报误差相关系数随距离变化情况比较符合。

3.2 观测误差确定

观测误差协方差矩阵采用常用的仅对角线有非零元素的对角矩阵，但重新考虑观测误差方差设置。海浪同化时间窗通常被设为轨道经过时刻的前后半小时。本文选取为Jason－1＆2高度计沿轨SWH作为用于同化的观测，扩大同化时间窗Δt，将t－Δt时刻至t＋Δt时刻范围内的观测合并至t时刻，同时引入时间代表性误差，与原本的观测误差合成作为新的观测误差。利用无同化模式模拟结果，计算不同时间间隔SWH差值的标准差作为时间代表性误差的近似。以1月和7月为例（图6），发现随着时间间隔的增大，标准差近似呈线性增长。Greenslade等［23］根据Günther等［24］提出的平均波向对风向变化的响应时间公式估算了平均波向对风向变化的响应时间在5～22h，认为在5h内SWH没有发生明显的变化。本文将同化窗口设为4 h，时间代表性误差取0.09m，观测误差方差平均值取0.122m2［22］，由于观测仪器误差与时间代表性误差不相关，则新的观测误差根据误差按标准差合成方法取0.15m。

图5 样本C定义的背景误差标准差SDC与SD24h之间散点图比较Fig.5 Scatter comparisons of the standard deviation of the background error by Ensemble－C with that of SD24h

图6 SWH差值的标准差随时间间隔（Δt）的变化Fig.6 The standard deviation of SWH differences versus the time interval（Δt）

3.3 同化影响评估

将本文中海浪模拟实验和海浪预报实验的实验设置和同化参数设置整理，如表1所示，其中模式空间分辨率与风场空间分辨率相同。

首先，分析EnOI同化方法和样本B对2011年的海浪模拟的改进。图7表明同化后3—11月相对误差的绝对改进为5%～10%，均方根误差改进0.05～0.23m，其中7月改进效果最佳，偏差改进和均方根误差改进分别为0.29和0.23m，偏差的减小使得模式对SWH的高估得到缓解。采用BD14和BD08站位的锚定浮标观测的波高数据检验结果同样显示了均方根误差的明显改进（图8）。总体上对于春、夏、秋三季采用该同化方法将高度计资料同化到海浪模拟过程中，所得海浪模拟结果改进显著。

表1 EnOI应用于海浪同化模拟和同化预报实验的参数设置Table 1 Setup for parameters in wave assimilating simulation and assimilating forecast experiments using EnOI

图7 利用Envisat高度计SWH数据对2011年同化和无同化模拟实验的统计检验结果Fig.7 The simulation experiments with and without assimilation in 2011，validated by the Envisat altimeter SWH

图8 利用浮标波高数据对2011－07同化和无同化模拟结果的检验Fig.8 The simulation experiments with and without assimilation in July 2011，validated by the buoy observations

其次，分析EnOI同化方法对海浪0～72h预报的改进。采用样本C进行2013－07海浪0～72h预报实验。每日的预报初始场由之前24h内加入观测的同化分析提供。与同化模拟实验不同，这里同化预报实验中同化过程与预报过程是分开的，因而，即使采用Jason－2高度计数据对目标海域预报结果进行检验，同化数据与检验数据仍相对独立。利用Jason－2高度计数据对2013－07海浪0～72h同化和无同化预报结果的检验见表2。结果表明，同化对0～24h预报的改进最为明显，而对24～48h以及48～72h预报的改进效果逐渐减弱。就整个7月份来看，0～24h预报结果在平均偏差上改进了0.16m，在均方根误差上改进了0.12m，同化较无同化均方根误差改进百分比达23%。利用浮标数据对2013－07－01—10海浪0～24h同化和无同化预报结果的检验见表3。表中AD09浮标站位处同化较无同化均方根误差改进百分比达21%，其他3个站位处改进百分比为12%～13%。

表2 用Jason－2高度计数据对2013－07海浪0～72h同化和无同化预报结果的检验Table 2 The 0～72hforecast experiments with and without assimilation in July 2013，validated by the Jason－2altimeter SWH

表3 用浮标数据对2013－07－01—10海浪0～24h同化和无同化预报结果的检验Table 3 The 0～24hforecast experiments with and without assimilation from July 1to July 10，2013，validated by the buoy observations

4 结论

本文尝试将集合最优插值（EnOI）同化方法应用于海浪同化，并讨论能够合理体现背景误差协方差特征的样本选择策略。海浪模拟和预报的背景误差主要受模式和强迫场影响，在实际应用中根据风场和从模式中选择合理的样本集合用于背景误差协方差的表达。文中设计不同的样本选取方案用于EnOI方法中背景误差协方差的估计。对于同化模拟实验，分别从SWH的历史后报场（样本A）以及24h间隔不同时刻的SWH之差（样本B）中进行样本选取；对于同化预报实验，从预报到同一时刻的72h预报与24h预报SWH之差（样本C）中进行样本选取。经与高度计数据确定的模式背景误差比较，认为样本B优于样本A。

采用样本B方案的2011年北印度洋海浪同化模拟实验表明，同化使得该海域SWH相对误差的绝对改进量在3—11月期间均能保持在5%以上，总体上春、夏、秋三季同化对海浪模拟的改进效果较明显，并以7月的改进最明显，其平均偏差改进和均方根误差改进分别达到0.29和0.23m。采用样本C方案的2013－07北印度洋海浪同化预报实验表明，同化使0～24h预报改进最明显，同化较无同化均方根误差改进百分比可达12%以上。

总之，无论是用高度计数据还是浮标数据，独立数据检验结果都显示了EnOI同化对海浪模拟分析和预报的正的改进效果，而且其计算代价低，因而具有业务化应用前景。

致谢：中国科学院大气物理研究所朱江研究员及谢基平副研究员对作者学习掌握EnOI同化方法方面给予了热情指导，国家海洋环境预报中心提供了GFS发布的72h预报风场。

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