一种改进的小波阈值图像去噪方法

王 琪，程 彬，杜 娟，徐国清

(1.南阳理工学院计算机与信息工程学院，河南 南阳 473000;2.南阳理工学院软件学院，河南 南阳 473000)

0 引言

在进行前期采集以及传输过程中图像不可避免会受噪声影响，这将不利于图像的后续处理以及分析，为此必须对图像进行去噪处理［1］。然而传统去噪方法，如中值滤波、均值滤波，仅仅局限于分析图像时域或者频域特性，在去除噪声的同时过滤掉了图像有效信息，从而降低了图像质量［2］。小波变换可以联合进行时频特性分析且选基灵活，使其在图像去噪方面效果良好。小波去噪方法一般基于模极大值、阈值函数以及小波系数相关性3 个方面。各种小波去噪方法中，Donoho 提出的阈值去噪方法是运用最多也是效果较好的一种方法［3-4］，然而由于小波硬阈值函数不连续，存在伪吉布斯现象，而小波软阈值函数恒定偏差使得边界模糊，并且全局阈值忽略了不同尺度图像系数与噪声系数相对变化，从而产生“过扼杀”和“过保留”现象，这些缺陷使得最后重构图像的误差较大。本文针对传统阈值去噪方法中存在的缺陷，提出一种改进的阈值函数和阈值估计方法。新的阈值函数具有连续可导性，克服了硬阈值函数不连续的缺陷，同时通过自适应的参数调整克服了软阈值函数恒定偏差的缺陷。而本文提出的新的阈值估计方法计算简单，同时考虑了不同尺度下图像系数和噪声系数的特性。在图像去噪结果中取得了较好的去噪效果。

1 小波阈值去噪

若f (x，y)表示原图像，n (x，y)为噪声，则含噪图像g (x，y)的模型表示如公式(1)，即由原始图像叠加上一个随机噪声形成:)

图像去噪实质上就是要将f(x，y)和n(x，y)正确的分离，Lipschitz 指数可用来测定二维图像函数的一致性［5］，与实现信号与噪声的有效分离密切相关。

定理 f(x)∈L2(R)，Wf为小波系数，那么f(x，y)在(a，b)上是Lipschitz 指数∂的充分必要条件为:

当s=2j，K∈Z+时，对公式(2)两边求导:

由公式(3)分析可知，∂＞0 时，小波系数随着分解尺度的增大而增大;当∂＜0 时，小波系数随着分解尺度的增大而减小。图像信号的Lipschitz 指数大于0，而白噪声的Lipschitz 指数∂=-1/2 -ε(ε ＞0)，小于0，因此图像有效信号的小系数随图像小波分解尺度的增大而增大，而噪声信号的小波系数随分解尺度的增大而减小，所以按照在不同尺度上的图像有效信号及噪声的小波系数规律，实现信号和噪声有效分离，即实现图像的去噪。

小波变换是线性运算，因此公式(1)通过小波变换后的结果仍包括2 个部分，即Wg=Wf+Wn，其中Wg表示加噪图像的小波系数，Wf表示原始图像小波系数，Wn为噪声小波系数。图像小波系数随着尺度的增大而增大，相反，噪声小波系数却随着尺度的增大而减小，因而图像小波系数和噪声小波系数经过小波多次分解后应趋于两极化，从而能够通过合适的阈值将图像和噪声小波系数成功分离。当小波系数小于一个阈值时，则说明这个分解系数主要成分为噪声，而对判断为噪声的小波系数的处理，通常存在硬阈值函数和软阈值函数方法获得新的小波系数［6］。硬阈值函数即直接舍弃这部分系数;软阈值函数方法则是按照某一个固定偏差量向零收缩。最后进行图像重构，恢复原始图像同时去除噪声。软硬阈值方法分为3 个步骤:

1)对加噪图像f(x，y)进行多级小波分解，获得各级小波系数。

2)采用适当的阈值函数及阈值对各级小波系数进行处理，获得新的小波系数，使得新的小波系数能够更接近原始图像小波系数。

3)根据步骤2)得到的小波系数进行图像重构，也就是小波逆变换，从而获得去噪图像。

根据上述小波阈值去噪的一般步骤可知，阈值函数和阈值的选择对图像去噪效果有重要的影响，根据阈值函数及阈值分离掉噪声部分，因此阈值函数和阈值的选择将直接影响图像的去噪效果［7］。

Donoho 采用硬阈值函数［8］如公式(4)，软阈值函数如公式(5)，其中，w 为小波系数，T 为阈值，sign(*)是符号函数。

Donoho 的阈值选取方法为统一阈值，如公式(6):

其中，σ 为噪声标准差，为MAD/0.6745，MAD 为细节小波系数幅度的中值，N，M 为图像的大小。

对上述分析可以得出:硬阈值函数在阈值点是不连续的，因此重构图像可能出现突变和振荡。软阈值函数虽然得到的小波系数连续性较好，但原系数和分解得到的小波系数偏差是恒定的，忽略了图像和噪声小波系数随尺度增大而改变的特性，这将影响重构后图像的质量［9］。同时这2 种函数都不是高阶可导的，不易进行数字处理。因此，寻找一种新阈值函数，使它既可以实现阈值函数的功能，又具有高阶导数，同时又能够克服软阈值和硬阈值的缺点，是很有必要的。

根据阈值去噪原理，当所选阈值过大，尽管可以去除噪声但也损失了图像中的有效高频信息，致使图像失真［10-11］;相反，如果所选阈值过小则在保留更多的图像信息的同时过多的噪声也保留了下来。因此去噪过程中合理地选取阈值以便在去噪的同时保留图像细节和边缘信息具有重要的意义。Donoho 的统一阈值虽然使用较为广泛，但在多数情况下都不是最优的［12］。它忽略了噪声和图像小波系数随尺度变换的规律。小波分解层数越大，噪声的小波系数越小，信息的小波系数就越大。

2 改进的阈值函数和阈值估计

2.1 改进的阈值函数

软硬阈值函数方法是比较常见的2 种小波系数估计方法，它们都有各自的缺点［13］。硬阈值函数虽然能够有效地去除图像噪声，但是由于硬阈值函数在阈值处不连续，导致在含有边缘信息较多的图像中增加人为噪声点，从而产生振铃、伪Gibbs 现象，在视觉上缺乏真实感［14-15］。软阈值函数虽然一定程度上克服了硬阈值函数增加较多人为噪声的缺陷，但同时造成了一定的高频信息的损失，从而使得重构图像边缘模糊。针对以上问题本文提出一种改进的阈值函数，如公式(7):

其中m 为调节系数。若m=0，则公式(7)为软阈值函数，m 越接近0 则失真越大，边界越模糊，而震荡越小;若m→+∞则公式(7)为硬阈值函数，m 越大则失真越小，边界越清晰但震荡越大。可见，根据不同的去噪目的，可以选择合适的m 值。改进的阈值函数不仅具有连续性，而且当|w| ＞T 时是高阶可导的，便于进行各种数字处理。现考察阈值函数如下:

设:

可见，函数f(x)以y=x 为渐近线，也就是说改进的阈值函数以直线wnew=w 为渐近线，随着w 的增大wnew逐渐接近w，从而能够克服软阈值函数中wnew与w 之间的恒定偏差的缺点以及硬阈值的小波系数不连续问题。

2.2 改进的阈值估计

小波阈值去噪中，阈值估计直接影响图像去噪效果。阈值较小则有效信息保留较完整但同时也残留较多噪声;阈值过大，则小波系数为0 的较多，对于硬阈值去噪重构图像存在伪边缘，对于软阈值去噪存在边缘模糊现象。目前使用较多的是Donoho 统一阈值［16］。而统一阈值在对各尺度下所有小波系数或同一尺度的小波系数都是一致的［17］，忽略了信号和噪声小波系数在不同尺度上的相对变化。同时，统一阈值与图像尺寸成正比，即图像尺寸越大，阈值越大，新小波系数为0 的数量就越大，则“过扼杀”现象较严重。若图像尺寸较小，则该阈值较小，保留过多噪声。鉴于以上几点本文在统一阈值基础上，提出自适应的阈值估计方法:

其中，σ 为噪声标准差，M，N 为图像的尺度，L 为分解尺度。该阈值能够体现图像及噪声小波系数随尺度的变化而变化的特点:随着分解尺度L 的增大，噪声的小波系数变小，而本阈值也减小，在去除噪声的同时，保留有效信息，防止“过扼杀”。当分解尺度为1时，公式(14)为Donoho 的统一阈值。

3 去噪效果评估与实验结果分析

为了客观评价不同方法的去噪效果，选取均方差误差MSE 和信噪比SNR 作为衡量去噪性能的指标，如:

均方误差MSE:

实验共进行了3 组，实验1 分析调节系数m 的值。噪声σ=40，对Lena 图像在不同m 值时采用本文改进的方法去噪，统计不同m 值时图像去噪后的SNR 值和MSE。图1 为Lena 图像在不同m 值时获得的SNR 和MSE 的对比，由图1 可见，随着m 由0开始逐渐增大，SNR 逐渐增大达到最高值并趋于稳定后又逐渐降低，而MSE 刚好相反，随m 增大而减小达到最低后又上升。由于阈值函数相同，因此不同图像采用不同的m 值时SNR 和MSE 曲线特性是相同的，即随着m 的增大SNR 增大达到峰值稳定后回落，MSE 则反之;不同图像取得最高SNR 值及最低MSE时m 的取值应是相同的，但实际中略有偏差。

图1 σ=40 时，Lena 图像SNR/MSE 特性曲线

为此进行实验2，分析不同图像的m 取值。将SNR 及MSE 各自归一化，由于MSE 越小表示图像去噪效果越好，因此将PSM=PSNR+(1 -PMSE)作为去噪指标，PSNR，PMSE为归一化的SNR 和MSE。Psm最高表示为最佳去噪效果。归一化的原因是SNR 和MSE的量纲不同，如果直接进行计算量纲小的指标的特性将被量纲大的指标特性所掩埋，归一化公式如下:

其中，Pj表示第j 个SNR 或第j 个MSE 值，m 表示均值，δ 为其标准差。

本文随机抽取Corel 图像库中的50 幅图像，对其进行搜索式实验，获得这50 幅图像采用本方法时取得最佳去噪效果的m 取值，计算统计直方图，从而获得一般情况下，图像获得最佳去噪效果的m 取值区间。图2 是50 幅图像取得最佳时m 值分布的直方图，横轴为m 取值，纵轴表示获得最高SNR 的图像数量，由图2 得当图像取得最佳去噪效果时，m 值集中在［2，9］区间，可根据需要选取合适的m 值。

图2 m 分布统计直方图

实验3 采用256 ×256，灰度级为256 的Lena 图像作为测试图像，如图3 所示。分别添加均方差为10，15，20，25，30，35 的高斯白噪声，小波基采用sym4小波对图像进行三层分解，分别采用中值滤波、均值滤波、硬阈值、软阈值，本改进方法(m=3.5)对含噪图像进行去噪处理，对比其去噪效果、信噪比、均方误差。

表1 和表2 分别为采用不同去噪方法，即均值滤波、中值滤波、硬阈值、软阈值，以及本改进方法对加入不同噪声方差的噪声图像进行去噪处理后的SNR和MSE 对比。从表1 和表2 可见，采用本改进方法的去噪图像相对于其他4 种方法拥有更高的信噪比，同时均方差更小。

表1 不同去噪方法的SNR 对比

表2 不同去噪方法的MSE 对比

图3 原Lena 图像

图4 σ=20 时，去噪效果对比

客观性能指标有时与人的视觉感知并不一致，本文对噪声均方差为20 的Lena 加噪图像通过5 种方法进行去噪，对比其去噪后的图像视觉效果质量。图3 为原始lena 图像，图4 为当噪声方差为20 时，5 种方法去噪后重构图像的视觉对比。图4 从左到右，从上到下，依次是加噪图像、中值滤波、均值滤波、硬阈值、软阈值，以及本改进方法去噪效果图。显然，本方法重构图像在视觉上的图像质量要明显优于中值滤波、均值滤波以及软、硬阈值方法。

4 结束语

针对Donoho 的软硬阈值函数存在伪Gibbs 现象、边缘模糊等缺陷，以及统一阈值忽略小波分解尺度与信号和噪声小波系数变化关系的缺陷，本文提出了一种改进的阈值函数和阈值估计方法，新的阈值函数具有连续可导同时偏差可变的特性，克服了软、硬阈值函数的缺点;新的阈值估计方法可以根据不同分解尺度自适应的调整阈值大小。实验结果表明，该方法无论视觉效果还是信噪比和均方误差方面，都优于中值滤波、均值滤波以及小波去噪软、硬阈值方法，表明了本方法的有效性以及优越性。

［1］李慧斌，刘峰.小波变换和稀疏冗余表示的混合图像去噪［J］.中国图象图形学报，2012，17(9):1061-1068.

［2］陈晓曦，王延杰，刘恋.小波阈值去噪法的深入研究［J］.激光与红外，2012，42(1):105-109.

［3］Donoho D L，Johnston I M.Ideal spatial adaptation by wavelet shrinkage［J］.Biometrika，1994，81(3):425-455.

［4］Donoho D L，Johbstone I M.Adapting to unknown smoothness via wavelet shrinkage［J］.Journal of the American Statistical Association，1995，90(432):1200-1224.

［5］Wang Shuxin，Xiao Xuezhong，Wang Yanhui，et al.Denoising method for shear probe signal based on wavelet thresholding［J］.Transaction of Tianjin University，2012，18(2):135-140.

［6］Abdourrahmane M A，Dominique P，Gregoire M.Wavelet shrinkage:Unification of basic thresholding functions and thresholds［J］.Signal，Image and Video Processing，2011，5(1):11-28.

［7］Donoho D L.Denoising by soft thresholding［J］.IEEE Transcactions on Information Theory，1995，41(3):613-627.

［8］刘平，王磊，郭中华，等.基于小波变换的边缘保留图像去噪改进算法［J］.电视技术，2014，38(5):13-15.

［9］李蕴奇.基于小波变换的图像阈值去噪及其效果评估［J］.东北师大学报(自然科学版)，2012，44(1):60-66.

［10］Mehmet U，Muammer G，Abdulkadir Ş，et al.Denoising of weak ECG signals by using wavelet analysis and fuzzy thresholding［J］.Network Modeling Analysis in Health Informatics and Bioinformatics，2012，1(4):135-140.

［11］Wen Nu，Yang Shizhi，Zhu Chengjie，et al.Adaptive contourlet-wavelet iterative shrinkage/thresholding for remote sensing image restoration［J］.Journal of Zhejiang University (Science C)，2014，15(8):664-674.

［12］王彦青，魏连鑫.一种改进的小波阈值去噪方法［J］.上海理工大学学报，2011，33(4):405-408.

［13］王大凯，彭进业.小波分析及其在信号处理中的应用［M］.北京:电子工业出版社，2006.

［14］Mehd N，Hossein N.Image denoising in the wavelet domain using a new adaptive threholding function［J］.Neurocomp Uting，2009，72(4):1012-1025.

［15］Mitsuru I，Reiko M，Kuniharu I.A new evaluation method for image noise reduction and usefulness of the spatially adaptive wavelet thresholding method for CT images［J］.Australasian Physical ＆ Engineering Sciences in Medicine，2012，35(4):475-483.

［16］武海洋，王慧，裴宝全.一种阈值改进的邻域小波系数法图像去噪［J］.计算机工程与应用，2011，47(27):203-205.

［17］程文松，陈劲松.一种新的改进阈值的小波包图像去噪方法［J］.西安科技大学学报，2010，30(4):479-483.