物理模型的建构与应用

刁品全+孙铁斌

直线运动是力学问题分析的基础，也是物理奥赛题的基础部分内容.学习这部分内容对适应物理奥赛有着重要意义.这部分问题的特点主要体现在：（1）物理模型理解与构建.物理模型是物理学重要的思想方法.物理模型有实物模型，如运动中遇到的质点，我们以后还会在热学部分学到理想气体等；过程模型，如运动学中的匀速运动、匀加速运动；数学模型，建立一数学规律，如图象、函数等、等效法等，随着大家所学内容不断增加，知识不断丰富，不断总结，这样大家处理问题的能力会不断提高.（2）数学建模与数据处理能力要求加强，当我们建立物理模型后，还需要对数据进行分析，而数据分析会综合应用各种数学技巧.（3）物理问题化归与建模，这是我们中学教学中常用的技巧，这种方法其实就是将我们遇到的各类问题分成各种类型，在运动学中如追及问题、避免碰撞问题、平抛与类平抛等，

问题模型化后，可以使问题大为简化，从中较为方便地得出物体运动的基本规律.模型的建构与应用在物理学发展历史上，伟大的科学家往往都是善于提出恰当的理想模型的科学家，如爱因斯坦提出“光子说”成功地解释了光电效应现象而获得诺贝尔奖，卢瑟福提出原子的“核式结构模型”成功地解释了原子物理的一些现象，人类从而进入研究原子物理时代，同时建构主义心理学理论认为：模型的建构是心理学中人们对事物认构的心理模式.因此对初学奥赛的同学来说，了解这类问题特点尤为重要，下面我们就来举例感悟一下其中的魅力.

一、运动物理模型建立

例1 一个人在灯正下方向前匀速运动，求证人影的顶端点是做匀速直线运动.

解析 需要论证的问题是——匀速直线运动.在运动学中匀速直线运动的关键是位移与时间是一次函数关系.那么我们得找出位移与时间关系，

如图1所示，设人AB在灯0正下方向前移动至A'B'，设移动距离为s，即BB'，此时人影的顶端C点位置如图所示.从图可知人影的顶端C点距离还需灯与人的高度，我们

点评：本题特点之一——很多物理量未知，在这种情况下我们可以去假设，构造出数学模型，在诸多物理量之间，有的物理量可以消去，而有些物理量是恒量，物理问题尤其是物理奥赛题难就难在建立物理或数学模型.这些物理问题我们能够用图来表达的尽量先用图来描述，找出隐含的物理、数学规律.

二、相对运动模型建立

例2 如图2甲物体在前方以初速度为v₁，加速度为a₁，做匀加速运动，同时在甲后面s处乙初速度v₂，加速为a₂，做匀加速运动，问：此后甲乙可能相遇几次？

解析 按常规思路，甲、乙相遇时在空间上看位于同一位置，如果建立数学模型，也就是建立坐标轴，甲乙在该坐标轴运动过程中某时刻相遇则坐标相同，表达式有解，这就需要较强的数学功底.

其实，在运动学中讨论一个物体运动要比两个物体运动要来得更简单一些，如图2所示为甲、乙开始的位置.

那么我们不妨研究乙，以甲为参照物，则相对速度为

（1）v₂-v₁>0

①a2 -o.>0：这种情况也就是乙相对于甲做初速度为v₂-v₁、加速度为a₁-a₁的向右匀加速运动，显然只相遇一次.

②a₂-a₁=0：这种情况也就是乙相对于甲做速度为v₂-v₁，匀速运动，显然只相遇一次.

③a₂-a₁<0：这种情况也就是乙相对于甲做初速度为v₂-v₁、加速度为a₂-a₁，向右作匀减速运动，如果速度足够大则会超过甲，但会返回，这种情况类似于竖直上抛运动，这时就会相遇两次.

但速度如偏小则不相遇，也可能速度大小恰好，则相遇一次，而该临界速度为：（v₂-v₁）²=-2（a₂-a₁）s.

（2）v₂-v₁=0

①a₂-a₁>0：这种情况也就是乙相对于甲向右做初速度为0、加速度为a₂-a₁匀加速运动，显然只相遇一次.

②a₂-a₁=0：这种情况为乙相对于甲的相对速度为0、加速度为0，即相对静止，二者不可能相遇，

③a₂-a₁<0：这种情况是相对速度为0、而加速度为a₂-a₁<0的运动，由于a₂-a₁<0<0，则乙相对于甲是远离，那么二者不可能相遇.

（3）v₂-v₁<0

由于v₂-v₁<0，则乙相对于甲向左运动，即开始是远离运动，当

①a₂-a₁>0：乙向左做匀减速运动，但当速度减小为0后又向右加速运动，则甲与乙必相遇：

②a₂-a₁=0：乙向左做匀速运动，则甲与乙肯定不会相遇；

③a₂-a₁<0：乙向左做初速度为v₂-v₁、加速度为a₂-a₁匀加速运动，则甲与乙肯定不会相遇；

这种分析也许相对于单纯从数学分析思考有点烦琐，但物理意义显得更为清晰.

例3 有一小孩掉进河里后抱住了一根圆木随水向下飘流（与水流速度相等且一起运动），有三条船A、B、C在正对河岸P点的地方同时与圆木相遇，但三条船上的船员都没有注意到圆木上的小孩.A、B两船逆水上行，C船顺水下行，相对水的速度B船是A船的1.2倍，C船是B船的1.2倍.当三条船离开P点行驶30分钟的时候，船员们从收音机里听到圆木上有小孩需要救助的消息，三条船都立即调转船头，驶向圆木.在离P点6千米的地方，小孩被船员救起.试回答三条船到达小孩和圆木的先后次序如何？

解析 由于本题中涉及到A、B、C及水流（即小孩）的运动，即使通过作图也较为复杂：A、B、C三者各自都存在顺水运动与逆水运动，这样就存在六个速度，而原来在静水中还有一速度.前面我们就已讨论过借助于相对运动可以使问题简单化，由于A、B、C三者是运动是具有相似特征，而水、孩子不是我们所重点讨论的，那么我们不妨以小孩为参照物，这样水流（即小孩）就是静止状态，而A、B、C三者在远离小孩子时时间相等，运动后再各自返回，返回的距离就是原来远离小孩时的距离，那么各自所用的返回的时间与原来各自运动的时间相等，这样他们重新回到小孩位置处所用时间相等，即三条船同时到达小孩位置.

相对运动的方法在分析多个物体运动时简洁、直观，无论是匀速运动还是匀变速运动，在一条直线上还是不在一条直线上都可以用相对运动来分析，两物体速度方向不平行时相对速度计算在以后学习中可以会学习到，因此以后在分析多个物体运动时优先想到相对运动法.

三、图象模型建立与应用

图象法也是我们处理问题常用的方法，在运动学部分最常见的有速度一时间图象、位移一时间图象.在分析和应用图象时我们要充分注意到图象斜率、交点的意义，图象“面积”的意义、图象横轴和纵轴截距（即图象与横轴、纵轴交点）的意义.其实除了这些图象以外还有其它类似图象，这些图在物理学中经常用到.

例4 有甲、乙、丙三辆车以相同的速度通过A点，此后甲匀速运动、乙先匀加速后又匀减速，丙则先匀减速后匀加速，三辆车到达B点时恰好速度相等，那么哪辆车先到达B点？

解析 按照常规的思路，题目未知任何物理量的大小，我们先设出物体的初速度，经过的总位移、两个变速运动的加速度，存在两个加速时的加速度及减速时的加速度，看起来未知量太多，处理难度较大.我们不妨用运动学的速度一时间图象，图象的“面积”表示位移的大小.

如图4所示，设甲、乙、丙三者同时到达B点，从图中可见，三者在这段时间里通过的

例5 如图6、7、8三个物体甲、乙、丙分别沿所示三个光滑斜面，斜面高度相同，且两个斜面的坡面长度相等，即MN=AB+BC=OP+PQ，已知斜面倾斜角越大加速度越大、两物体分别沿两斜面滑到底端时速度大小相等，那么哪个先到达底部.位移也不等，问题关键在于乙、丙不是做的直线运动.但由于MN=AB+BC=OP+PQ，也不是说路程相等，因此我们可以作出的v-t图表示速率一时间图，那么图象的“面积”表示路程.

由于三个物体到底部时速率相等，设三个物体同时到达底部，则速率一时间图象如图9所示，从图中明显可以看出乙的“面积”最大，为了使面积相等，可以将乙时间缩短、丙的时间加长，如图10所示，这样可以保证三者“面积”相等.可见，t_丙>t_甲t_乙，即乙先到达B点.

例6 一只老鼠从老鼠洞沿直线爬出，已知爬出的速度大小与距离老鼠洞的距离成反比，当老鼠到达距中心距离是x₁=1m的A点时，速度大小为20cm/s，问当老鼠与距离老鼠洞中心是x₂=2m，B点时的速度大小v₂，是多少？老鼠从A点运动到B点所用时间是多少？

解析 因为老鼠从老鼠洞沿直线爬出，已知爬出的速度与通过的距离成反比，则不可能用匀速运动、匀变速运动的公式来求解，但可以通过图象法求解.因为

四、转换研究参量

在研究、分析问题时，我们习惯的思路是哪个物理量未知我们就去研究这个物理量，找出题中各种条件列出关系式，有时这种分析方法显然烦琐，而当们设一些其它中间相关量时解题反而会更加快捷，采用这种迂回的战术大大降低了分析的难度.

例7 一火车沿直线轨道从静止发出，由4地驶向B地，并停止在B地. AB两地相距x，火车做加速运动时，其加速度最大为a₁.，做减速运动时，其加速度的绝对值最大为a₂，由此可以判断出该火车由A到B所需的最短时间为____.

解析 我们可以通过作图知道火车运动分成两个过程，整个过程中火车先做匀加速运动，后做匀减速运动.在该过程中加速度越大、所用时间越短，两个过程时间分别为

上面解析思路清晰，但涉及到未知量较多，以时间为参量突破解题计算烦琐，但我们如果设在转折时速度为突破口，则可知：

物理模型的建构是一个难度较高的要求，但对物理有浓厚兴趣的学生尤其是要参加物理奥赛学习的同学来说，这种能力要及时自我培养，这会对自己物理学习有着极大的帮助.