基于风险溢价视角的违约公司债券定价数学解析

文 | 符号亮

基于风险溢价视角的违约公司债券定价数学解析

文 | 符号亮

本文对违约概率不同公司债券从风险溢价理论解析，将公司债券价值表达成抛物型偏微分方程，所依赖利率、波动性、债券支付等变量均可通过市场上观测和计量估计得到，并得到债券风险溢价是波动性和价值比率的函数。

公司债券 违约风险 风险溢价

理论回顾

关于利率期限结构理论和经验研究文献已发表很多，归结起来主要包括了纯预期理论、流动性理论、期限偏好理论和市场分割理论。关于违约概率较大时的债券的定价理论没有得到系统的发展，有必要从风险溢价角度解释债券期限结构。本文尝试要解决这个问题。

公司债务定价的理论假设

假设债券期限结构既定，债券价格差别只取决于违约概率高低，做如下假设：1.无交易成本，无税收，投资者进入无障碍；2.资产交易时间连续进行；3.公司价值和资本结构无关；4.期限结构固定已知。对承诺未来时刻τ支付1元无风险贴现债券，价格为P（τ）=exp （-rτ） ，r为（瞬时）无风险利率且不随时间改变。5.整个时间上，公司价值动态可用扩散随机过程描述，其随机微分方程为dV=（αV-C）dt+σVdz，α是单位时间公司瞬时期望收益率。C若为正，表股息或利息；若为负，则表公司从新融资中获得净收入。相应的σ，表单位时间公司收益瞬时标准差。dz表标准高斯—维纳过程。

假定证券任意时点市场价值Y可写成公司价值和时间的函数，即为Y=F（V，t）。把这种证券价值动态写成随机微分方程形式：

dY=（αyY-Cy）dt+σyYdzy（1）

式中，αy为该证券单位时间瞬时期望收益率；Cy为单位时间对该证券的支付； σy为单位时间瞬时收益标准差；dzy为标准高斯—维纳过程。

然而，给定Y=F（V，t）时，（1）式中αy，σy，dzy与假设5中所定义相应变量α，σ，dz之间存显函数关系。根据伊藤引理和假设5，可把Y动态写成（下标表偏导数）：

可违约公司债务定价

现在我们构造一个三证券投资组合，包括公司、特定证券和无风险债务，使投资组合总投资为零。利用卖空收益和借款对多头进行融资，就可得到该投资组合。令W1表示该投资组合投资与公司瞬时货币量，W2表示投资于证券货币量，W3［=-（W1+W2）］为投资于无风险债务货币量。若dx表投资组合瞬时收益，则有（3c）式，有：

方程（7）是F的抛物型偏微分方程。如果证券价值为公司价值和时间的函数，则该方程一定满足（7）式。

F除了是公司价值和时间的函数外，它还依赖利率、公司价值波动性、公司支付策略以及对证券持有者所承诺支付策略。给定利率和当前公司价值，尽管两个投资者效用函数不同，对公司未来期望不同，只要对公司价值波动率认识一致，则可对特定证券价值F的认识就相同。

风险贴现债券定价

应用前面公式，我们研究一个简单公司债务定价。假设公司存在两类型权益：（A）单一同质债务；（B）公司股权，即剩余索偿权。其中债券发行条款中有如下条款：①公司承诺在特定日期T，共支付给债券持有者B元；②如果不能支付，债权人可以立即接管公司，且股东没有任何收益；③公司不能发行任何新的优先和同等级别权益，也不能在债务到期前支付现金股息以及回购股份。

因不支付利息，有Cy=0；根据条件（3），有C=0；此外，τ=T-t表距离到期日时间长度，得Ft=-Fτ。为得到债务价值，求解（7）式的两个边界条件可通过债权发行条款和债务责任条款得到。根据定义，V=F（V，τ）+f（V，τ） ，f表公司股权价值。因F和f只能取非负值，则有：