带有Neumann边界条件和非局部反应项的非局部扩散方程的爆破

李佳贤，杜宛娟

(西华师范大学 数学与信息学院，四川 南充 637009)

0 引言和主要成果

本文主要研究以下非局部扩散问题的爆破现象

其中，α ＞0，Ω 是一个有界连通光滑区域，核函数J:RN→R 是一个具有紧支集的非负有界连续对称函数初值u0(x)是非负，非平凡的有界函数．问题(1)经常出现在人口密度、化学反应和热传递等物理模型中．比如u(x，t)可以表示单一种群在空间点x 和时间t 时的密度，J(x -y)可以看作是种群从位置y 转移到位置x 的概率分布，卷积(J* u)(x，t)=表示个体从其他位置到达位置x 的速率，而则表示离开位置x 到达其他位置的速率．非局部反应项J* eαu(x，t)表示了单一人口密度在区域Ω 内呈指数增长．在考虑内源的情况下，密度u满足非局部扩散方程(1)．在问题(1)中，积分仅仅是在Ω 上进行的，而∫J(x - y)(u(y，t)- u(x，t))dy 考虑了个体到达或离开位置x 的情况，因此，把这种扩散仅仅限定在Ω 上进行，没有个体进入或离开这个区域．从而问题(1)具有Neumann 边界条件，参见文献［1］．

近年来，具有ut=∫RNJ(x -y)u(y，t)dy -u(x，t)这种形式的非局部扩散问题，以及它的一些变式，被广泛应用于扩散问题的建模，可以参考文献［2 -8］．

现在给出这篇文章的主要成果．

且在Ω 上满足下面这个恒等式

确定了解的存在性和唯一性，接下来去研究解发生爆破时的时间和速度．

与之相关的爆破率，有:

定理3 假设u 是问题(1)的解，且在时刻T 爆破，则:

1 解的局部存在性

这部分主要给出定理1．1 的证明，并通过Banach 不动点定理来证明解的存在性和唯一性．为此，给出一些必要的准备．固定t0＞0，令Banach 空间其范数定义为:

定义算子T:Xt0→Xt0

问题(1)的解将在Xt0的一个适当的球中，通过上面算子的一个不动点得出．将通过下面这个引理说明算子T 是有定义的，并且给出条件保证它是严格紧缩的．

引理1 算子T 是有定义的，且从Xt0映到Xt0．令那么，存在一个正常数C =C(α，‖w‖Xt0，‖z‖Xt0，K，Ω)，使得

若t0足够小，则Tw0在球是严格紧缩的．

证明:首先验证Tw0是从Xt0映到Xt0．对于有:

所以Tw0(w)在t=0 处连续．对于，满足

则Tw0在(0，t0］上连续．

由于核函数J 在空间中是一致连续的，因此Tw0(w)是x 的连续函数．对则Tw0(w)于是Tw0(w)是从Xt0映到Xt0．

其中η≤max{‖w‖Xt0，‖z‖Xt0}．由(x，t)的任意性可得估计(4)式．

选取t0使得Ct0＜1，令w0=z0，那么在里，(4)式确保算子Tw0是严格紧缩的．实际上，w 和z 定义在这样的球中可以得到因此，存在一个仅仅依赖于J 和u0的常数C，使得

对此可以选取t0使得Ct0＜1/2 保证在球内是严格紧缩的．

定理1 的证明(存在性与唯一性):由Banach 不动点定理和引理1 可以得到问题(1)的解在［0，t0］上是存在且唯一的．如果‖u‖Xt0＜∞，令初值对于t1＞t0，可以将解延拓到区间［0，t1)，和前面的证明类似．因此，若解存在一个最大时间T，是有限的，那么解在范数下爆破，即

从方程(1)中可以得到u 满足下面的恒等式

在等式两边对x 积分并运用Fubini 定理，则有

定理1 得证．

为了说明问题(1)的解满足比较原理．为此，先介绍上解和下解．

下解的定义和上解的定义类似，只需将上面的≥全部换为≤．

现在给出与上解和下解有关的比较原理和极值定理两个引理．证明参见文献［9］．

2 爆破与爆破率

定理2 的证明:在方程(1)两边对x∈Ω 积分，运用Fubini 定理和Jensen 不等式，可得到:

所以∫Ωu(x，t)dx 不是全局存在的，则u 也不可能全局存在．通过定理1 可知，解u 在范数下爆破．在上式不等式积分中，可以得到对爆破时间的一个估计，即:

现在我们给出爆破率，即对定理3 进行证明．

对(5)式在(t，T)上积分，可得:

由于u(x，t)爆破，则存在t0使得对于任意的t∈(t0，T)，存在参数ε ＞0，使得

在(t，T)上积分，可得

令ε→0 时，由(6)和(7)式可得:

即定理得证．

［1］ CORTAZAR C，ELGUETA M，ROSSI J，et al． Boundary Uxes for Non-local Diffusion［J］． Journal of Differential Equations．2007，234(2):360 -390．

［2］ ANDREU F，MAZON J，ROSSI J，et al． The Neumann Problem for Nonlocal Nonlinear Diffusion［J］． Journal of Evolution Equations． 2008，8(1):189 -215．

［3］ ANDREU F，MAZON J，ROSSI J，et al． Local and Nonlocal Weighted P - Laplacian Evolution Equations with Neumann Boundary Conditions［J］． Publicacions Mathematiques． 2011，55(1):27 -66．

［4］ GALAKTIONOV V，VAZQUEZ J． The Problem of Blow -up in Nonlinear Parabolic Equations［J］． Discrete and Continuous Dynamical Systems． 2002，8(2):399 -434．

［5］ IGNAT L，PINASCO D，ROSSI J，et al． Decay Etimates for Nonlinear Nonlocal Diffusion Problems in The Whole Space［J］．Journal d'Analyse Mathematique． 2014，122(1):375 -401．

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［7］ SAMARSKI A，GALAKTIONOV V，KURDYUNOV S，et al． Blow -up in Quasilinear Parabolic Equations［M］． Walter de Gruyter，Berlin． 1995:560．

［8］ WANG M． Blow-up Rate Estimates for Semilinear Parabolic Systems［J］． Journal of Differential Equations． 2001，170(2):317 -324．

［9］ CORTAZAR C，ELGUETA M，ROSSI J，et al． How to Approximate The Heat Equation with Neumann Boundary Conditions by Nonlocal Diffusion Problems［J］． Archive for Rational Mechanics and Analysis． 2008，187(1):137 -156．