如何比较反比例函数与一次函数的大小

施卫

摘要：反比例函数与一次函数是初中阶段最基础、最核心的内容。它们之间的大小关系是一次函数和反比例函数的综合应用，可以提高学生的观察、分析、综合应用及合情推理能力。它也是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。此类题目在中考中常见。笔者经过多年教学，把反比例函数与一次函数在相交时的大小关系的问题总结用如下口诀解决，取得了较好的教学效果。这个口诀就是：“数形结合，三线四域，上大下小。”

关键词：反比例函数 一次函数 数形结合 综合

一、反比例函数与一次函数在相交时的几种情况

根据反比例函数y1=与一次函数y2=a2x+b的系数a1、a2的符号的异同，可将两种函数分为如下两种情况：

一是两函数中的系数a1、a2异号（如图一所示）。

[y][x][1][3][2][4][5][6][-1][-3][-2][-4][-5][-6][1][3][2][4][5][6][-1][-3][-2][-4][-5][-6] [x][1][3][2][4][5][6][-1][-3][-2][-4][-5][-6][1][3][2][4][5][6][-1][-3][-2][-4][-5][-6][O][O][y]

图一

二是两函数中的系数a1、a2同号（例如图二所示）。

[x][-2][1][3][4][-6][O] [y][A][B]

圖二

以上两种情况，常常以选择题或解答题的形式出现，下面并举例说明。

二、反比例函数与一次函数大小关系的

比较

根据题目的不同，反比例函数与一次函数大小关系的比较一般有以下的种方法，如对于以下的选择题。

例：如图，一次函数y1=x-1与反比例函数y2=的图像交于点A（2，1），B（-1，-2），则使y1>y2的x的取值范围是（    ）。

[x][O] [A][B]

A. x>2        B. x>2或-1

C.-12或x<-1

分析：根据图像特点结合A，B两点就可以找出使y1>y2的x的取值范围。

解：由A（2，1），B（-1，-2）两点可知，当x>2或-1

学生在看图像比较反比例函数与一次函数大小的解答题时，往往觉得无从下手，我经过多年的教学实践，认为可按照如下的步骤进行：数形结合（画图像，找交点）;三线四域（绘三线，分四域）;上大下小（定大小）。

（一）两函数系数a1、a2同号（下面以a>0为例说明）

1.画图像。要确定两函数y1=与y2=a2x+b的大小关系，可以先画出两函数的图像。例如，反比例函数y1=和一次函数y2=x+1的图像如图三所示。

[x][-2][1][3][4][-6][O] [y][A][B]

图三

2.找交点。根据两函数的图像，找到两函数的交点坐标A（x1，y1）和B（x2，y2）。例如，由图二可得两函数的交点坐标分别是A（-6，-2）和B（4，3）.

3.绘三线。根据两函数的交点绘出三条垂直于x轴的直线x=x1;x=0（即y轴）和x=x2。例如，反比例函数y1=和一次函数y2=x+1两函数可绘如图四的三条直线分别是x=-6;x=0（即y轴）和x=4。

[x][-2][1][3][4][-6][O] [y][A][B][x=0][x=-6][x=4]

图四

4.分四域。以三线为界可将直角平面划分为四个区域，分别是：①xx2.例如以上两函数可划分四个区域如图五所示是：

[x][-2][1][3][4][-6][O] [y][A][B][x=0][x=-6][x=4] [①] [②][③][④]

图五

①x<-6;②-64.

5.定大小。根据“上大下小”原则，在划分的四个区域中，函数图像在上的大于图像在下的，由图五中的图像所示可得在四个不同的区域中两函数的大小关系如下：①x<-6时，反比例函数图像在一次函数图像上面，所以反比例函数大于一次函数，即y1>y2;②-6y2;④x>4时，一次函数图像在反比例函数图像上面，所以一次函数大于反比例函数，即y1

（二）两函数系数a1、a2异号

1.两函数不相交时。当两函数不相交时，由图像根据“上大下小”原则即可得到两函数的大小关系。如图六所示对于函数y1=和y2=-x+1可根据图像当x>0时，反比函数图像在一次函数图像上面，所以反比例函数大于一次函数，即y1>y2;当x<0时，反比函数图像在一次函数图像下面，所以一次函数大于反比例函数，即y1

[x][1][3][2][4][5][6][-1][-3][-2][-4][-5][-6][1][3][2][4][5][6][-1][-3][-2][-4][-5][-6][O][y][y=][y=-x+1]

图六

2.当两函数相交时。

两函数相交时，可参照两函数系数a同号时的情况进行判断。

（责编 赵建荣）