载人月面着陆过程的应急上升轨道优化设计

彭祺擘，张海联（载人航天总体研究论证中心，北京100094）

载人月面着陆过程的应急上升轨道优化设计

彭祺擘，张海联
（载人航天总体研究论证中心，北京100094）

研究了月面软着陆过程发生故障后的应急上升轨道，建立了整个应急上升过程的优化设计模型，并针对构建的强约束轨道优化问题，设计了将Gauss伪谱法和直接打靶法结合的混合优化策略，求解得到了满足应急条件的上升轨道参数。仿真分析表明该方法可以有效解决月面应急上升轨道优化问题，且求解收敛性和鲁棒性较好，可为同类问题的求解提供参考。

月面着陆；应急上升；轨道设计；高斯伪谱法；直接打靶法

1　引言

不同与无人月球探测，能否保证航天员安全是决定载人登月任务成功与否的关键。因此轨道设计必须要考虑飞行器在发生故障后的任务中止能力，任务中止轨道的设计与正常任务轨道同样重要。目前虽有部分文献对载人登月的应急轨道进行了研究，但主要是围绕地月转移过程发生故障后的应急返回展开研究［1，2］，对于月面上升过程，相关文献［3，4］主要是针对标称轨道进行设计和研究，而对月面软着陆过程中出现故障后的应急返回轨道设计较少。载人登月任务一般采用基于环月轨道交会的飞行方案，着陆器在从环月轨道到达月球表面的着陆过程中，有可能发生一些故障，导致任务无法继续并要求着陆器快速返回环月轨道，与在轨飞船完成交会对接，因此有必要预先对月面应急上升交会轨道做出设计，以保证发生故障时航天员的安全性。本文即主要研究着陆器的应急上升轨道优化策略。

月球没有大气，着陆器在着陆过程中发生故障时，主要靠发动机来调整控制策略，使其返回到环月轨道。应急返回轨道设计需同时满足故障时刻着陆器的位置、速度约束以及与在轨飞船的交会对接条件约束，其轨道设计可以看作是求解一类同时满足初始和终端状态约束的最优控制问题。针对这一轨道设计的特点，本文将目前研究较多的一类配点法——伪谱法与传统的打靶法相结合，提出了一种混合优化策略，对月面应急上升交会轨道进行了优化设计。仿真分析表明此方法求解精度高，对初值敏感度较底，具有很好的鲁棒性和收敛性。

2　问题描述

载人登月任务的月面软着陆过程主要分为三个阶段：下降轨道机动段、无动力下降段和动力下降段［5］，如图1所示。

月面着陆器故障发生在着陆过程的不同阶段时，其所采用的应急上升策略不同。故障发生在无动力下降段时，只需要采用脉冲推力提升着陆器轨道高度并调整其与载人飞船的相位差，使两飞行器满足交会对接条件；故障发生在动力下降段时，则首先需采用连续推力发动机将着陆器送入交会对接初始轨道，然后采用脉冲推力变轨实现与在轨飞船的交会对接［6］。本文主要针对月面着陆动力下降段发生故障后的应急上升轨道做出设计，并进行相关特性分析。

在动力下降段着陆器发生故障时，它与在轨飞船的相对状态一般不能满足交会对接初始条件要求，故首先需要调整着陆器的轨道高度和位置、速度状态，使其最终与在轨飞船建立合适的相对状态，随后启动标准化交会程序实现交会对接［7］。因此，应急上升段的主要任务是将着陆器从任务中止点送入预定交会对接轨道，此阶段采用连续推力模式，完成后着陆器一般进入近月点约15 km且与载人飞船共面的椭圆轨道［8］。下面给出具体优化设计方法。

3　优化设计模型

应急上升过程可以看作是动力下降段的逆过程，因此其轨道设计可看作是求解满足一系列约束条件的最优控制问题，具体优化求解过程如下。

3.1设计变量

月面上升级一般采用固定推力发动机［4］，因此选取发动机的推力方向角α、β和飞行时间tf作为应急上升段轨道优化设计的设计变量如式（1）：

给定一组设计变量X，即可对动力学模型进行积分确定出应急上升段的飞行轨道参数。

3.2动力学模型

建立月心惯性坐标系OL-XYZ，其坐标原点为月心，X轴指向着陆器动力下降时刻月面中央湾位置，Z轴为月球自转方向。

建立轨道坐标系o-xyz，该坐标系为非惯性系。其坐标原点为着陆器质心，z轴从月心指向着陆器方向，x轴垂直于z轴指向动力下降初始时刻的运动方向，与月球正北方向的夹角为γ。其中，γ为动力下降开始时刻着陆器速度方向与月球正北方向夹角，见式（2）。

其中，i0为初始环月轨道倾角，φ0为动力下降点着陆器的月心纬度，以上参数如图2所示。

图2　相关坐标系示意图Fig.2 Coordinate system s

在着陆器应急上升时，只考虑发动机推力Ta和月球引力，假设为月球中心重力场，且忽略其它摄动

力影响，则推导应急上升过程动力学方程为式（3）：

式中，r为月心距，u、v、w为轨道坐标系中的速度分量，λ和φ为上升过程中的经纬度，ma为质量，Isp为发动机比冲，μL为月球引力常数。

3.3约束条件

月面着陆器在下降过程中发生故障应急上升时，主要需考虑两类约束条件，一类时由于着陆器的位置约束，即边界条件，要求着陆器要能在故障位置快速返回预定轨道；另一类是着陆器的性能约束，包括发动机，安全性要求等。

1）边界条件

主要包括初始及终端条件约束。初始条件为故障时刻着陆器的位置和速度，如式（4）和式（5）。

其中，RL为月球半径，ta为动力下降到任务中止的飞行时间，ha、λa和φa为任务中止时刻着陆器在月固系下的高度和经纬度，ua、va和wa为任务中止时刻着陆器在月固系下的速度。

终端条件为满足着陆器入轨后的交会对接约束，主要包括高度和共面约束，相位这里不作为约束条件，而是在优化目标中给出。

因此终端条件为应急上升后载人飞船的位置和速度，如式（6）和式（7）。

其中，i0和Ω0为目标轨道的倾角和升交点赤经，HLLO为目标轨道高度，hf为应急上升后高度。

2）工程约束

首先，着陆过程中推力方向角受发动机限制不能随意选取，应满足式（8）：

其次，上升过程中为避免着陆器撞月的可能性，要求其飞行过程的月面高度大于某一安全值，即式（9）：

3.4优化目标

根据任务需求，应急上升可选择不同的优化目标。

1）相位差

倘若分析应急上升后着陆器与载人飞船的相位差范围，则选取相位差为优化目标，如式（10）：

其中，Φfd为从动力下降到任务中止着陆器飞过的相位角，Φfa为从任务中止到应急上升完成着陆器飞过的相位角，tH为初始无动力下降段飞行时间。上式中取“+”号时得到最小相位差，取“-”号时得到最大相位差。

2）燃料消耗

倘若任务要求在最短时间内完成应急上升或燃料消耗最少，则可选取燃料消耗为优化目标，即式（11）：

上升过程中推力大小恒定，因此优化目标可写为式（12）：

4　优化求解策略

由于模型较为复杂，且约束条件较多，传统方法求解存在难以收敛、计算速度慢或对初值敏感等问题。本文提出基于一类配点法-高斯伪谱法和直接打靶法相结合的混合优化策略，即首先同时离散控制变量与状态变量，取较少Gauss点，利用GPM求解轨道初值；然后进一步离散控制变量，将上步结果作为初值，利用直接打靶法求解精确解。此方法可避开变量初值猜测问题，降低对初值的敏感度。下面给出优化方法。

4.1利用GPM计算初值

利用Gauss伪谱法求解结果为离散值，Gauss点选取较少时精度较差。Gauss点较多时设计变量数目就会较为庞大，此时初值选取不当会导致问题收敛不到可行解［9］。针对此问题，本文只利用GPM作为初值生成器。

首先选取较少的Gauss点N（文中N=6），利用GPM将最优轨道设计问题转化为非线性规划问题，并利用SQP算法求解近似最优解，实践表明此时需赋初值设计变量少，对初值不敏感，鲁棒性好。然后将计算得到的结果作为下步计算的初值。Gauss伪谱法求解原理参考文献［6］。

另外，本文对于初值的求解，采用了从可行解到最优解的串行优化策略。即首先将等式约束转化为目标函数，求得可行解；然后利用求得结果作为初值，求解原有最优控制问题，得到最优解。这种办法可更有效提高收敛性。

4.2利用直接打靶法求解高精度最优解

进一步离散控制量，在选取的Gauss点之间进一步离散时间，即将每两个Gauss点之间时间进行K等分，将整个轨道离散为（N+1）·K段。每个Gauss点处控制变量初值已在4.1节中求得，等分点之间控制变量初值通过样条插值求得。

每个离散点ti（i=0～（N+1）·K）处，状态变量为Xi=X（ti），控制变量为Ui=U（ti）。由于状态变量是连续的，因此每一段利用Runge-Kutta积分对轨道进行逼近。这样优化问题经离散化后，利用SQP算法对非线性规划问题求解，得到最终解。

图3给出了求解策略流程。

图3　月球应急上升的轨道优化策略Fig.3 Optim ization strategy of emergency ascent trajectory

5　仿真算例

以月球极轨为例，计算着陆器在某时刻中止任务后最优上升轨道，仿真参数如下。

设载人飞船初始环月轨道倾角为90°，高度为110 km，升交点赤经为180°。动力下降段初始高度15 km，经度0°，纬度90°；终端高度2 km，经度5°，纬度76°。所设计的标称着陆轨道位置、速度变化如图4所示。

设任务中止时间ta=203.28 s，如图4所示，中止时刻着陆器参数（即应急上升初始条件）见表1。

表1　应急上升初始轨道参数Table 1 Initial trajectory parameters of emergency ascent

终端条件为：通过应急上升，着陆器进入与载人飞船共面，近月点15 km，远月点220 km的椭圆轨道，其中远月点设为220 km主要是为了在后续交会对接段调整两飞行器的相位差［6］。

应急上升的过程约束见式（13）

图4　标称着陆轨道位置、速度变化曲线Fig.4 Time history of position and velocity in lunar standard descent trajectory

另外，设上升级初始质量ma0=5 000 kg，发动机推力Ta=18 kN，发动机比冲Isp=300 s。

5.1相位差范围

首先以相位差作为优化目标，且约束应急上升燃料消耗mu≤2500 kg，分别计算应急上升结束后，着陆器与载人飞船可达到最大、最小相位差，结果如表2所示。

表2　应急上升后两飞行器相位差范围Table2 Range of phase difference between two aircrafts

图5给出了飞行过程中两飞行器相位差变化。

结果表明，应急上升段调整较小相位就需要耗费较多飞行时间和燃料，调相能力很差，在工程中并不可行，因此应急上升段一般不以调相为目的。这样应急上升后相位差并不能满足交会对接要求，但可在应急交会段完成两飞行器的相位差调整，已满足要求。

图5　应急上升过程两飞行器的相位差变化Fig.5 Time history of phase difference between two aircrafts

5.2燃料最优上升轨道

以燃料消耗为优化目标，可得应急上升飞行时间为210.7 s，燃料消耗为1 290.143 kg，最终两飞行器相位差为4.47°。应急上升飞行轨迹如图6所示。

图6　应急上升过程的飞行轨迹Fig.6 The flying track during emergency ascent

上升过程各方向速度变化如图7所示，推力方向变化如图8所示。

通过大量仿真试验，初值在约束范围内随机选取，求解均能收敛，且结果通过积分验证均能满足所有约束条件，因此其求解精度较高，鲁棒性较好。此外，优化计算在Matlab环境下编程，计算机CPU为1.7 GHz/CORE（TM）i5，内存为3 G时，计算过程耗时小于2分钟，可见收敛速度较快。

6　结论

本文对月面软着陆过程中着陆器发生故障时的应急上升轨道做出了研究，建立了整个应急上升过程的优化设计模型，并采用连续推力模式，对整个轨道进行了优化设计。针对本文这一强约束条件下的非线性优化问题，设计了Gauss伪谱法和直接打靶法相结合的混合优化策略，仿真表明此方法可有效解决本文所提出的复杂优化问题，且收敛速度快，求解精度较高，鲁棒性较好，可为同类问题求解提供参考。

［1］陈海萍.载人登月任务中止轨道特性分析［D］ .长沙：国防科技大学，2009. Chen Haiping.Study on Characteristicsof Lunar Abort Trajectories in Manned Lunar Mission［D］.Changsha：National U-niversity of Defense Technology，2009.（in Chinese）

［2］Peng Qibo，Shen Hongxin，Li Haiyang.Free return orbit design and characteristics analysis for manned lunar mission［J］.Sci China TechSci，2011，54（12）：3243-3250.

［3］李鑫，刘莹莹，周军.载人着陆器上升入轨段的制导律设计［J］.系统工程与电子技术，2011，33（11）：2480-2484. Li Xin，Liu Yingying，Zhou Jun.Design of guidance law for lunar ascent phase ofmanned lunarmodul［J］.Systems Engineering and Electronics，2011，33（11）：2480-2484.（in Chinese）

［4］Sostaric R R，Merriam R S.Lunar ascent and rendezvous trajectory design［C］//31 th Annual AASGuidance and Control Conference，Breckenridge，Colorado，2008.

［5］郗晓宁，曾国强，任萱，等.月球探测器轨道设计［M］.北京：国防工业出版社，2001：146-151. Xi Xiaoning，Zeng Guoqiang，Ren Xuan，et al.Orbit Design of Lunar Probe［M］.Beijing：National Defense Industry Press，2001：146-151.（in Chinese）

［6］彭祺擘.考虑应急返回能力的载人登月轨道优化设计及特性分析［D］.长沙：国防科技大学，2012. Peng Qibo.Optimal Trajectory Design and Characteristics A-nalysis for Manned Lunar Landing Mission with Emergency Return Capability［D］.Changsha：National University of Defense Technology，2012.（in Chinese）

［7］周建平.空间交会对接技术［M］.北京：国防工业出版社，2013：168-170. Zhou Jianping.Space Rendezvous and Docking Technology［M］.Beijing：National Defense Industry Press，2013：168-170.（in Chinese）

［8］Hull D G，Harris M W.Optimal solutions for quasiplanar ascent over a spherical moon［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2012，35（4）：1218-1224.

［9］彭祺擘，李海阳，沈红新.基于高斯——伪谱法的月球定点着陆轨道快速优化设计［J］.宇航学报，2010，31（4）：1012-1016. PENG Qibo，LIHaiyang，SHEN Hongxin.Rapid lunar exactlanding trajectory optimization Via Gauss pseudospectralmethod［J］.Journal of Astronautics，2010，31（4）：1012-1016.（in Chinese）

Optim ization of Lunar Emergency Design Ascent Trajectory during M anned Lunar Landing

PENG Qibo，ZHANG Hailian
（Manned Space System Reasearch Center，Beijing 100094，China）

Lunar emergency ascent trajectory during soft landing was studied and a lunar emergency ascent trajectory optimization design model was established.A hybrid optimization strategy combining GPM and shootingmethod was designed to obtain the optimal solution of the ascent trajectory parameters satisfying the emergency constraints.The simulation results showed that the proposed method could solve the complex optimization problem effectively，and themethodology and strategy for the optimal trajectory design have good robustness and strong convergence.

lunar landing；emergency ascent；trajectory design；Gauss Pseudospectral Method（GPM）；direct shootingmethod

V412.4+1；V476.3

A

1674-5825（2015）02-0187-06

2014-09-09；

2015-03-08

彭祺擘（1982-），男，博士，助理研究员，研究方向为航天任务分析与仿真。E-mail：poochie003@163.com