浅谈数学思想在课堂教学中的运用

高庆东

摘 要：数学教学思想众多，函数与方程是数学教学与学习中比较重要的思想，运用的得当与否可以体现学生对数学知识的把握程度与认知程度。等价转化是数学学习中另一个重要思想，决定着学生的学习是否具有创新性、延展性。也是一个学生是否具有较强数学意识与思维的重要的考量标准。

关键词：函数与方程 等价转化 教学

中图分类号：G633.6 文献标识码：C 文章编号：1672-1578（2015）10-0101-01

数学教学思想众多，函数与方程是数学教学与学习中比较重要的思想，运用的得当与否可以体现学生对数学知识的把握程度与认知程度。等价转化是数学学习中另一个重要思想，决定着学生的学习是否具有创新性、延展性。也是一个学生是否具有较强数学意识与思维的重要的考量标准。下面笔者阐述这两种思想的运用与体会。

1 函数与方程的思想

函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题；方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解，有时，还实现函数与方程的互相转化，达到解决问题的目的。

笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y=f（x），就可以看作关于x、y的二元方程f（x）-y=0，可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。

函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。

函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。

2 等价转化思想

等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。如：从大的方面看，集合与映射再到函数等知识的提出与推理，就是用前面已经学会的知识来解决后面的结构与体系。或者说是在用已经熟悉或被证明正确的知识来解决映射中最特殊的情况，如映射是对应的关系，可以一多也可以多对一，当函数就只是在讨论多对一的情况了，也就是说在解决新出现的问题的时候，想到解决方式，定义了新的知识概念与内涵，这样新的知识就出现了，也就实现了知识的发展与创新，所以，理论来源与实践，来源于人们的生活总结。在历年高考中，等价转化思想出现较多，我们要不断培养和训练学生自觉的转化意识，从而提高他们解决数学问题中的能力、思维能力和角题技能、技巧。

转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。

数学教育要求培养出更高数学素质、具有更强创造能力的人，所以数学教学不应该停留在“概念、定理、例题、练习、作业”的知识传授型模式上，而应通过积极鼓励、引导学生进行课堂教学反思，培养学生观察、比较、分析、综合、抽象和概括等思维能力，使学生能用数学工具描述和处理自然界和社会中的某些现象，从数学角度去发现问题、提出问题、进行探索和研究，最终解决问题。在此过程中数学思想的渗透和潜移默化的影响不容忽视，只有通过长期的训练才能达到这个目标，才能使学生信心十足地走上考场，顺利完成答卷，圆上十几年的大学梦，为终身学习打下基础，也为今后向更广阔的空间发展提供必备的条件。