带观察时的跳服从Erlang（n）分布的对偶模型的红利贴现问题

摘要研究了跳服从Erlang（n）分布，随机观察时服从指数分布的对偶风险模型.假设在边值策略下红利分发只在观察时发生，建立了红利期望贴现函数V（u；b）的微积分方程组.给出了当收益额服从PH（m）分布时V（u；b）的解析解.探讨了当收益额服从指数分布时V（u；b）的具体求解方法.

关键词Erlang（n）分布；红利期望贴现函数；随机观察时；对偶模型；PH（m）分布

中图分类号O211.6 文献标识码A

Dividend Problems in the Erlang（n）

Dual Risk Model with Observation Times

TAN Pulin

（School of Mathematics and Statistics， Wuhan University， Wuhan， Hubei430072， China）

AbstractThis paper studied the dual risk model with Erlang（n） distributed interclaim times and exponentially distributed random observations. Under constant dividend barrier strategy and assumption that dividend payments only occur at observation times， integrodifferential equations for expected discounted dividend payments until ruin were established. When jump sizes are PH（m） distributed， the analytical solutions for expected discounted dividend payments were given. When jump sizes are exponentially distributed， the specific method to derive the expected discounted dividend payments was investigated. Specially， the explicit solutions when n=1 and numerical example when n=2 were given.

Key words Erlang（n） distribution； Expected discounted dividend payments； Random observation； Dual risk model； PH（m） distribution

1引言

在研究保险公司盈余过程U（t），t>0时，在t时刻的盈余可以表示为

U（t）=u+ct-S（t）

=u+ct-∑N（t）i=1Yi，t≥0.

其中，u=U（0）≥0为初始盈余，c为保费率即收入率，S（t）表示保险公司的总索赔额即支出，一般为复合泊松过程.在研究一般公司的盈余过程时发现公司的支出是持续的，收入是随机的.通过改进得到了对偶风险模型，可参见Avanzi等人（2007）[1]，Avanzi和Gerber （2008）[2]，Gerber和Smith（2008）[3]的工作.在对偶风险模型中，t时刻的盈余表示为

U（t）=u-ct+S（t）

=u-ct+∑N（t）i=1Yi，t≥0. （1）

在这个模型中c表示费用率即支出率，S（t）表示总收益，其中N（t）和Yi相互独立.假设Yi，i≥1是非负的独立同分布随机序列，密度函数为p（y）且期望为μ=E（Y1）.

De Finetti（1957）[4]首次提出在风险模型中考虑分红策略，认为这个过程更贴切实际情形.分红策略一般有两种.一种是边值策略，即当盈余过程超过给定的边值时，红利才分发且发放超过边值部分的全部.另一种是阀值策略，相同的是在盈余过程超过给定阀值才分发红利，不同的是当超过阀值时，分红率是一个固定的常数.Avanzi等人（2007）[1]研究了在边值策略下对偶风险模型的最优红利问题，Avanzi等人（2013）[5]研究了在边值策略下带观察时的对偶风险模型的破产概率和贴现红利，Ng（2009）[6]研究了在阀值策略下对偶风险模型的贴现红利.关于收益过程，这些文章都是基于复合泊松过程讨论的，在模型的进一步推广时，收益改用更新过程来研究.Li和Garrido（2004）[7]研究了复合更新过程（索赔时间间隔即跳过程服从Erlang（n）分布）下风险模型的破产概率，Albrecher等人（2005）[8]则给出了跳服从广义Erlang（n）分布的贴现红利任意阶矩，Eugenio等人（2014）[9]在跳服从Erlang（n）分布下把模型推广到对偶情形并讨论破产概率和贴现红利问题，Yang和Sendova（2014）[10]在此基础上推广到广义Erlang（n）分布.关于收益过程采用复合更新过程来描述已经有很多文章了，但是他们都没考虑带观察时的情形.基于此，考虑在边值策略下带观察时跳服从Erlang（n）分布的对偶风险模型.不同于Peng等人（2013）[11]（红利分发和破产均在观察时发生）的研究，而是类似于Avanzi等人（2013）[5]红利分发只在观察时发生而破产可能是在任意时刻发生的（即盈余U（t）<0就破产）.

经济数学第 32卷第3期

谈普林等：带观察时的跳服从Erlang（n）分布的对偶模型的红利贴现问题endprint

本文的结构如下：在第二部分，介绍具体模型和定义.在第三部分第一节，给出红利期望贴现函数V（u；b）满足的微积分方程组.在第三部分第二节，利用第三部分第一节结果讨论收益额服从PH（m）分布时的红利期望贴现函数，并给出V（u；b）的解析解.在第三部分第三节，给出观察时及收益额均服从指数分布时V（u；b）的具体求解.在第四部分第一节，给出跳退化为指数分布时V（u；b）的显示解及其极限，并与Avanzi等人（2007）[1]和Avanzi等人（2013）[5]的结果进行比较.在第四部分第二节，给出跳服从Erlang（2）分布时，V（u；b）的数值举例.

2模型及定义

根据式（1），U（t），t≥0的破产时间定义为τ=inft≥0：U（t）≤0.计数过程N（t）=mink：T1+T2+…+Tk+1>t是一个更新过程，Ti

SymboleB@ i=1是正的独立同分布随机序列（Ti定义为第（i-1）次产生收益到第i次产生收益的时间间隔）.

假定Ti（i=1，2，…）服从Erlang（n）分布，即密度函数为fT（t）=λntn-1e-λt/（n-1）！.假设公司是可盈利的，即c<μ/E（Ti）cn<λμ.

假设Zk

SymboleB@ k=1为随机观察序列，且满足

Zk=∑ki=1Mi，k=1，2，…，

其中Mi为第（i-1）次观察与第i次观察所经历的时间，{Mi，i≥1}独立同分布且分布函数为F（x），并假设与{Yi，i≥1}以及Ti

SymboleB@ k-1时刻，即任意时刻Zk盈余超出边界值b（>0），则超出部分全部作为红利分发.

每个观察时间间隔定义一个剩余过程Ub（t），t≥0（分发红利后）.

为了引入红利期望贴现函数，定义辅助过程Wk（t），t≥0，k=1，2….它们可以通过下面的等式递归定义

Wk（t）=U（t），k=1；t≥0，Ub（Zk-1）-c（t-Zk-1）

+∑N（t）i-N（Zk-1）+1Yi，k=2，3，…；t≥Zk-1，

以及对k=1，2…，

Ub（t）=Wk（t），Zk-1

令Z0=0-，Ub（0）=u，即有0时刻不是红利分发点.

类似地定义当前模型的破产时间为

τb=inft≥0：Ub（t）≤0.

令Kb=maxk≥0：Zk≤τb，则Kb表示直到破产为止总共发生观察的次数.

红利期望贴现函数可定义为

V（u；b）=E∑Kbk=1e-δZkWk（Zk-b）+Ub（0）=u，u≥0，

其中a+=max（a，0），δ为贴现力.假设V（u；b）线性有界.图1给出了盈余过程Ub（t）t≥0的变化轨迹图.

b

5结论

建立了边值策略下带观察时的跳服从Erlang（n）分布的对偶风险模型，通过求解随机微分方程组给出了红利期望贴现函数V（u；b）的解析解.相比较于传统的风险模型用于研究保险公司的盈余过程，而其对偶模型适用于一般公司.对比Eugenio等人（2014）[9]研究Erlang（n）分布，利用更新过程的无记忆性，把Erlang（n）分布分成n个阶段来讨论.红利分发只在观察时发生的假设和使用更一般的更新过程来研究使研究结果更加具有现实意义和一般性.对于观察时为指数分布等其它情形，可以进一步使用其他分布来研究.

参考文献

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