复杂网络上带有传播媒介的SICRS模型研究∗

徐玺翔，覃锡忠，洪丽平，傅云瑾

(1.新疆大学 信息科学与工程学院，新疆 乌鲁木齐830046；2.中国移动通信集团新疆有限公司 新疆 乌鲁木齐830063)

0 引言

微博上的虚假信息和谣言等通过因特网进行传播，不仅阻碍着人类社会的网络化发展进程，并且对我们社会稳定发展造成很大的影响[1].因此，通过将谣言等在因特网上的扩散过程的具体模型抽象为传染病在社会群体中的传播规律的研究，进而发现并且设计出有效的预防与控制策略对传染病动力学领域的研究的工作具有重要的应用价值和理论意义[2].

人们研究社会网络的主要原因之一是疾病的传播同谣言在社会网络上的传播特性相似，可以借助对流行病在人群中传播现象研究谣言在社会网络中传播问题[3].传染病模型最早于1927年由Kermark和Mekendrick提出；由只考虑单一情况的SI、SIS、SIR模型发展成考虑多种因素的不同模型[4−6].在考虑存在免疫情况的SIRS传播模型中，感染个体(I)为传染的源头，它通过概率α将传染病传染给易感个体(S)；同时，感染个体本身以概率β得以治愈成为暂时具有免疫能力的移除个体(R)[7−8]；处于移除状态的个体会以概率γ失去免疫力[9]；该模型中节点的状态可对应谣言传播中的不同种群，S对应普通用户，I对应谣言传播者，R对应谣言免疫用户.陈静等[10]提出了SICRS模型，该模型提出介于R和I状态之间的一个过渡状态(C)，而C可以看作被淹没的微博用户.现实生活中，谣言不仅能够通过人与人接触传播，还会通过小报、广播等传播媒介传播[11−14].文献[12]把个体与传播媒介放在同一网络上，建立了带传播媒介的SIS模型，得出了传播媒介不能改变流行病的感染程度，但能够促进流行病传播等结论；夏承遗等[15]提出一个带有直接免疫的SIRS类传染模型,得出了直接免疫作用可以增大疾病在复杂网络上传播的临界阈值、降低传染性疾病的传播范围；万青松等[16]提出一个新的SIRS类传染病模型，即带有直接免疫和传染媒介的SIRS模型.

本文结合以上两种因素，提出一类复杂网络上考虑传播媒介的SICRS模型，并讨论该模型的传播动力学行为.模型的提出不仅有助于研究谣言等在网络中的传播和控制，也为研究带有传播媒介的传播模型时如何提出高效可行的免疫策略提供了新思路.

1 带有传播媒介的SICRS模型的建立

在SICRS模型中，一方面谣言不仅会通过个体之间传播，还会通过传播媒介进行扩散；另一方面，在现实生活中，存在这样一种情况，谣言在被转发初期具有传播能力，而经过一段时间会被其它微博覆盖成为被淹没的消息而不再具有传播能力，并且后期还可能存在再次转发谣言而重新具备传播能力的可能.

在每个事件步，普通用户(S)转变为谣言传播者(I)不仅是因为与谣言传播者接触的原因，还可以是因为与谣言传播媒介的接触所导致，同时也有可能是因为类似不相信谣言而直接转化为谣言免疫用户(R)，并具有暂时的免疫力；谣言传播者会转化为失去传播能力但是还未具备免疫力的被淹没用户(C)；被淹没用户此时还没有完全免疫，也不能再向其它个体传播谣言，在被淹没状态的个体以一定概率转化到完全谣言免疫状态，即获得暂时免疫力；对于谣言免疫用户而言，因为失去免疫力，而以一定概率向普通用户转化；普通媒介(SV)因为接触谣言传播者，从而转化为谣言传播媒介(IV)，而普通用户会因与谣言传播媒介的接触而传播谣言；谣言传播媒介同时会以一定的概率转化为普通媒介.同时热门微博话题以及报纸、电视、杂志等对应普通媒介SV和谣言传播媒介IV，那么本文提出的模型就可以用来描述微博上谣言的扩散过程.模型的传播机制如图1所示，图中S、I、C、R分别表示普通用户、谣言传播者、被淹没用户、谣言免疫用户，IV、SV分别表示谣言传播媒介和普通媒介.

图1 考虑传播媒介的SICRS模型传播机制

根据上述的描述，引入平均场理论后可以建立下列微分方程模型(模型的背景参考均匀网络进行描述).图1中S(t)为种群中普通用户的数量、I(t)为种群中谣言传播者的数量、C(t)为种群中处于被淹没状态的被淹没用户数、R(t)为种群中处于免疫状态的谣言免疫用户数、V(t)为种群环境中处于谣言传播状态的媒介的密度.用λ表示普通用户同谣言传播者接触时的有效传播率，取λ=λ/γ，其中γ为谣言传播者向被淹没状态转化的概率，令γ=1(本做法只会对演化时间的尺度造成改变)；α表示普通用户直接转化为谣言免疫用户的直接免疫率；δ表示谣言免疫用户失去免疫力的概率；µ为被淹没用户转化为谣言免疫用户的概率；f为接触传播媒介时普通用户的传播率；d表示普通媒介接触谣言传播者时的传播率.总用户为N(t)=S(t)+I(t)+C(t)+R(t)，可以认为总用户N(t)是一个常数，因此可以假设N(t)=1，即S(t)+I(t)+C(t)+R(t)=1.

2 模型分析

2.1 均匀网络情形

首先我们考虑均匀网络情形，均匀网络的特点是网络节点的度都为，即每个处于网络中的节点的度近似等于网络的平均度，.提出两个便于研究本模型的假设：1、均匀混合假设；2、为避免考虑新用户的注册账号和老用户注销账号，假设用户的在网周期远远大于谣言传播的时间尺度.

我们定义有效传播率为，仍假设γ=1.在均匀网络中存在一个正的传播阈值λc，如果传播阈值λc小于有效传播率λ，谣言将在整个网络中传播并最终使谣言传播者稳定在某一平衡状态，这个状态也可以称为地方玻�此处可以理解为谣言会一直存在；如果有效传播率λ小于传播阈值λc，那么谣言无法大范围传播，且处于谣言传播状态的个体数量会按照指数衰减，也就是说在这种情况下，谣言最后会消失.

根据条件S(t)+I(t)+C(t)+R(t)=1，式(1)转化为如下形式：

证明如下：

简化式(2)可得方程:

参数具体数值如下：

2.2 非均匀网络情形

在非均匀网络中，无论谣言的传播性是多么弱，其仍然能够爆发并且持续的存在.非均匀的网络特点是一个随机选取的节点倾向于同关键节点或度大的节点连接，即其度分布满足幂律分布.因此度大的节点就较易被感染，然后作为传播节点去感染其它节点，从而导致谣言传播速度比均匀网络上更快.记SK(t)、IK(t)、CK(t)、RK(t)分别为t时刻普通、谣言传播、被淹没、谣言免疫状态在度为k的所有节点中的比例，即SK(t)+IK(t)+C(t)+RK(t)=1.从而可以建立如下方程:

令方程(7)右边等于0，那么有，

将式(8)、式(10)和式(11)带入式(9)

其中

那么有：

由于Θ(∞)=0是式(15)的平凡解，且F(Θ(∞))是关于Θ(∞)的连续、可微上凸函数，从而式(13)存在非平凡解0<Θ(∞)≤1当且仅当：

那么有

3 仿真与分析

以均匀网络模型进行模拟，研究本文中模型传播时临界阈值的特性并验证上述基于平均场理论分析的正确性.

仿真中，网络规模N=10000，平均度=8，直接免疫率α=0.15，免疫力丧失率δ=0.2，普通用户接触传播媒介时的传播率f=0.15，谣言传播者接触普通媒介时的传播率d=0.25，谣言传播者转化为谣言免疫用户的概率µ=0.5，t=0时， 网络中I(t)、R(t)、C(t)和V(t)初始状态为0.2，0.25,0.2和0.15.

首先取λ>λc进行仿真分析.

λ=0.35时，λ>λc，仿真结果如图2所示.

图2 λ>λc时，I(t)、C(t)、R(t)和V(t)变化曲线

从图2可看出:当有效传播率大于传播阈值时，谣言传播者密度先有一个较快的下降，然后缓慢上升，之后趋于平稳并稳定在某一个接近于零的稳定值.被淹没用户密度先有一个较快的上升，接着是一个较快的下降，最终稳定与一个接近于零的值.谣言免疫用户的密度开始上升较快，之后上升速度逐渐放缓，并最终稳定于某一个较大的值.谣言传播媒介密度有一个较快的下降，之后保持平稳并趋于一个接近于零的稳定值.可见在这种情形下，谣言、谣言传播者和谣言传播媒介并没有随时间的推移而消失.谣言不会消失.

取λ<λc进行仿真分析.

λ=0.15时，λ<λc，仿真结果如图3所示.

图3 λ<λc时，I(t)、C(t)、R(t)和V(t)变化曲线

图4 传播阈值λc与传播媒介系数d和f的关系

从图3中可看出:当传播阈值大于有效传播率时，谣言传播媒介密度和谣言传播者密度均会在传播开始后呈现出下降较快的趋势，并最终趋于零.被淹没用户密度先有一个较快的上升，接着是一个较快的下降，最终稳定与一个接近于零的值.谣言免疫用户的密度，先是有一个较快的上升的过程，然后缓慢下降，并趋于某一个稳定值.说明在此种情形下，随着时间的推移，谣言、谣言传播者和谣言传播媒介最终会消失，即有效传播率较小时，谣言最终会消失.

感染媒介系数d和f与传播阈值λc的关系.根据再将仿真时各个参数的数值代入，可得f和d对λc的影响如图4所示.

从图4中可看出，传播媒介的存在会使传播阈值下降，df与传播阈值λc成反比关系.λc值会随着df值的增加而降低.当df=0，即不考虑传播媒介的作用时，可得:λc=0.219.而当考虑传播媒介的影响时，如df=0.5时，λc=0.156.可见传播媒介的存在会导致疾病的加速传播，即正确的使用如公共媒体的媒介可以有效的遏制谣言的传播；反之，则会加速谣言在网络上的传播.

4 结束语

本文综合考虑实际情况下谣言会通过传播媒介进行扩散且传播过程中个体言论还存在被淹没的特性，改进了SIS以及SIR模型，并提出考虑传播媒介的SICRS模型.研究并且仿真了SICRS传播模型在均匀网络上的传播规律以及不同参数在非均匀网络中对传播阈值的影响.实验结果表明：在均匀网络中，当λ<λc时，谣言信息将会消失.当λ>λc时，经过一段时间的传播后，谣言会存在于一小部分用户中；另外在均匀网络中引入传播媒介后会加速谣言的传播，即正确的使用公共媒体可以减慢甚至阻止谣言的传播，而对于度不相关网络而言，在考虑极限情况下，传播阈值也趋于零.这一结果与经典结果相似.模型中的各个状态可以抽象为网络中处于不同状态的微博用户，传播媒介也有相对应的媒体，因此模型的提出不仅有助于研究谣言等在网络中的传播和控制，也为研究带有传播媒介的传播模型时如何提出高效可行的免疫策略提供了新思路.