综合评价法在数学建模中的应用

经验人：朱艳科 房少梅

综合评价法在数学建模中的应用

经验人：朱艳科 房少梅

研究综合评价方法及其在数学建模中的应用， 对于建模竞赛和实际的数学研究工作都有着十分重要的现实意义。文中对五个常用的综合评价方法进行了简介，并对其优缺点进行对比，最后以全国大学生数学建模竞赛2009年B题为例，介绍模糊综合评价法在数学建模中的应用。

现代综合评价方法经过50年的发展，由经典方法中派生出了很多方法和模型，这些方法和模型被广泛应用于经济发展、工业生产以及安全分析等方面。正如任何事物都有它的两面性一样，各评价方法的使用条件、优缺点及适用对象不同，难免存在着局限性和不足之处，对此我们必须有所认识。因此本文首先对几种常用的综合评价方法进行概述，再对各方法优缺点及适用情况进行总结和比较，最后通过一个实例说明综合评价方法在数学建模中的应用。

常用综合评价法简介

层次分析

层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称为AHP）是T.L.Saaty（1975）提出的一种综合评价方法。该方法是通过对评价对象的性质和影响因素进行全面分析，并将全部因素分成有相互联系的有序层次，进而构造出自下而上的阶梯式的层次结构。在确定权值方面，首先对同一层次的各因素进行比较，确定每一层次内各因素相对重要性的权值，然后再根据各个指标的数值及其权值，对评价对象做出综合评价。该方法是一种多准则、多目标、无结构特征的综合评价方法，被广泛应用于经济发展比较、科技管理评价、事故致因分析、资源规划分析、人员素质测评及安全经济分析等方面。

模糊综合评价法

模糊综合评价法（Fuzzy Comprehensive Evaluation）简称为FCE。FCE法是一个利用模糊数学知识进行模糊决策的方法。它是运用模糊关系集成的原理，对评判对象给出比较全面而量化的隶属度，建立模糊综合评判矩阵，从而进行综合性评判的一种方法。FCE法可以根据评价具体指标情况，赋予每一个评价对象一个非负的评价分值，据此对评价对象进行排序。

数据包络分析

数据包络分析（Data Envelopment Analysis），简称为DEA。DEA方法是A.Charnes和W.W.Copper等（1978）在“相对效率”概念的基础上提出的一种根据多个投入指标和多个产出指标，对一系列类似的评价对象的相对有效性或效益进行评价的综合评价方法。任何一个经济系统的运行都可以看成一个单元，也被称为决策单元（Decision Making Units ，简称DMU），通过投入一定数量的生产要素之后，会产出一定数量 的“产品”，这些不同的经济活动的最终目的都是尽可能地取得最大的“效益”。从“投入”到“产出”中间过程中需要经过一系列决策，也可以说“产出”是决策的结果。DMU的概念是广义的，可以是一个大学，也可以是一个企业，也可以是一个国家。评价是根据输入和输出数据来评价各决策单元的优劣。自第一个DEA模型——C2R模型被提出之后，DEA方法不断完善和发展，被运用到诸如资源配置、技术进步、技术创新、金融投资等领域。

神经网络

神经网络（Neural Network，简称为NN）自上世纪80年代提出后，由于其超强适应能力和学习能力，解决了许多传统方法难以解决的问题，在很多领域得到广泛应用。NN方法是一种模仿人脑结构和功能的信息处理系统，是由诸多人工神经元按照一定的拓扑结构互连形成的，按照一定的学习规则，通过对样本数据的学习和训练，把网络掌握的“知识”以神经元之间的连接权值和阈值储存下来，利用这些从学习样本获得的“知识”来实现对未知样本的推理能力，。虽然目前有一些综合评价方法能较好地考虑并集成综合评价过程中的各种定性与定量信息，但是在应用中，这些方法或多或少仍存在着随机性、主观性和模糊性。而NN方法能结合评价者的经验，且能降低或消除评价过程中的一些不确定性因素的影响，其既具备综合评价方法的规范性，又具有较高的求解效率。

主成分分析

主成分分析（Principal Component Analysis），简称为PCA。PCA是由Pearson K（1901）提出的，是利用特征空间降维的方法，把多个评价指标精简为少数几个综合主成分指标的一个多元统计方法。主成分分析是把原来的一组有线性相关关系的指标转成另一组不相关的指标，这组新的指标可按照方差大小来排序。第一个综合指标具有最大的方差，称为第一主成分，第二综合指标的方差次大，称为第二主成分，依此类推，K个原始指标可以对应有K个主成分。实际应用中可以根据方差贡献保留少数几个主成分，由此可以达到降维的作用。主成分分析的实际应用十分广泛，如人口统计学、数量地理学、分子动力学模拟、综合评价等领域中均有应用。

五种常用综合评价方法的对比

通过上述对五种常用综合评价方法的简介，将各种评价方法的优缺点归纳在表1中。

表1　五种综合评价方法的优缺点总结

模糊综合评价方法在数学建模中的应用

下面以2009年全国大学生数学建模竞赛的B题中的第一问的解题为例，介绍模糊综合评价方法在数学建模竞赛中的应用。

评价指标体系的建立

在深入分析该眼科医院病床实际安排情况的基础上，考虑以下几个指标组成评价病床安排的指标体系。

1病床使用率：即是一定时期内被使用的病床数与总病床数之比。

2病床返还率：即是一定时期内病人返还病床数与总病床数之比。

3平均等待入院时间：即是病人在门诊就诊到被安排入院之间的时间间隔。

4 等待队长：即排队入院的人数。

以上四个指标中，病床使用率和病床返还率是反映医院病床利用率的指标，而平均等待入院时间和等待队长是反映病人满意度的指标。

模糊综合评价模型的建立与求解

首先，根据医院病床安排问题的实际情况，确定出影响医院病床安排模型优劣主要有病床使用率、病床返还率、平均等待入院时间以及等待入院队长这四个主要因素。因而，可以确定相应的模糊综合评判因素集：

U=｛病床使用率，病床返还率，平均等待入院时间，等待入院队长

其次，针对问题的四个因素，都可以给出由很好、好、一般和差这四个元素组成的评判集：

评判集=（很好，好，一般，差）

立足于医院病床安排问题的实际情况，对于评判因素集中的每一个因素，我们可以确定出相应评判集中每一个因素的具体量化指标范围。比如，对于评判因素集中的第一个因素，当病床使用率超过90％时，认为对应的评价等级为很好；当病床使用率介于85％和90％之间时，认为对应的评价等级为好；介于80％和85％之间，认为一般；而当病床使用率小于80％时，认为对应的等级为差。以此类推，可以得到评判因素集中每一个因素的评判集，具体如表2所示。

表2　各个因素的评判集

最后，对已选取日期为32-54的数据，利用式（1）（2）（3）（4）分别计算其对应的床位使用率、床位返还率、平均等待入院天数以及平均等待队长这四个评判集元素的值。

以日期为32的数据组为例，有：

因此，可以得出日期为32当天，医院的床位使用率

为0.7721，床位返还率为0.1333，平均等待入院时间为7.86天，等待队长为97人。以此类推，可以计算出日期为32-54所对应的四个评判集元素的指标值，具体求解结果如表4所示。

表4　日期为32-54所对应的四个评判集元素的指标值

隶属度函数的确定

根据医院病床安排的实际情况，可以采用模糊统计方法来确定出评判因素集中四个元素对应于评判集中四个元素的隶属度函数。模糊统计方法是基于模糊统计实验基础上的隶属度函数确定方法。所谓的模糊统计实验必须包含以下四个要素：

（1） 论域U ；

（2）U 中一个固定的元素x0；

（3）U 中的一个随机变动的集合A*；

（4）U 中的一个以A*为弹性边界的模糊集A ，并对的变动起到制约的作用。其中有使对A 的隶属关系是不确定的。

假设做了n 次模糊统计试验，可以计算出：

事实上，随着n的不断增大，隶属频率最终趋于稳定，称其频率的稳定值为x0对A 的隶属度，即

例如，在日期为32-54的数据中，床位使用率≥90％，即对应评判集中“好”的模糊试验数为21，于是，病床使用率对应于“好”的隶属度

同理，可以得到：

于是，得到病床使用率对应于评判集“较好”、“好”、“一般”和“差”的隶属度分别为0.9130、0.0434、0和0.8260。同理，可以求出病床返还率、平均等待时间以及等待入院队长对应的隶属度。具体求解结果如表5所示。

表5　四个评判因素对应的隶属度

对病床利用率、病人满意度的评价

考虑到评判集四个元素中，病床的使用率和病床的返还率都是集中体现医院病床利用率的指标，因此，将这两个因素组成一个新的评判元素集，用以反映医院的病床利用率；而评判集中，平均等待入院时间和等待入院队长都是反映病人满意度的指标，故可以将这两个因素组成另一个评判集，用来刻画病人的满意度。于是，得到两个新的评判集：

床位利用率=｛病床使用率，病床返还率｝

病人满意度=｛平均等待入院时间，等待入院队长｝

根据特尔菲法，对各因素及各类别在评价中的重要性进行权衡，确定权数分配，用模糊矩阵表示：

床位利用率 ：w1=［0.6 0.4］；

病人满意度 ：［0.4 0.6］；

综合评价得分=×床位利用率+w4×病人满意度；

其中w3和w4为对应的权重。

根据实际情况，取w3=0.4，w4=0.6，得到床位利用率、病人满意度以及综合评价指标结果如表6所示。

表6　床位利用率、病人满意度以及综合评价指标结果

从表4中，我们可以得出以下结论。

1 病床利用率的评价结果中，对应于“较好”的隶属度为0.6，高于其他隶属度值。从医院的角度分析，原有的病床安排模型体现的是较高的病床利用率。

2 病人满意度的评价结果中，对应于“较差”的隶属度为0.3391，显然高于其他隶属度值。从病人的角度分析，原有的病床安排模型时不能迎合病人的满意度的，模型有待改进。

3 结合病床利用率以及病人满意度两方面分析，对应于“差”的隶属度为0.3461，明显高于其他的隶属度值。因此，从总体的综合评价可以看出，医院的病床安排模型是不太合理、有待优化的。

小结

考虑医院病床安排模型的“优劣”是一个模糊的概念，其影响因素中有些是定量的，有些是定性的，且具有不同的实际含义。此外，考虑到模糊综合评价法有结果意义清晰明确，有较强的系统性这些特点，能较好地解决实际中较模糊的且难以量化的问题。因此，在对医院病床安排模型的优劣做出综合评价时，模糊综合评价方法是一个非常适用的方法。

结语

通过以上的理论综述及实例分析，可以看到，综合评价方法在数学建模中有着非常广泛的应用。综合评价中的核心问题就是要对多属性的复杂系统作出客观、全面以及科学的评价，因此在评价中要综合考察多个相关因素，根据条件运用适当的方法。参赛者在面对数学建模中的综合评价问题时，应根据评价对象和目的，在现有资料的条件下科学地选择评价方法。在大多数情况下，绝对最优的评价方法是不存在的，只有较为适宜的方法。

10.3969/j.issn.1001-8972.2015.17.044