均值不等式在几何解题中的应用

陈文佳

【摘要】均值不等式是不等式内容的重要组成部分，在中学数学课程中也占有十分重要的地位。均值不等式常常用来求最值、求取值范围、比较大小、证明不等式等。本文以均值不等式为研究对象，探讨均值不等式在几何解题中的具体应用。首先概述均值不等式的基本知识，在此基础上综合分析均值不等式在几何解题中的实际应用，最后作出总结。

【关键词】均值不等式 几何解题 应用

【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）10-0164-01

1.均值不等式的基本知识

均值不等式应用的先决条件是对己知条件或目标不等式的相关项或因式进行分拆分组，使之符合均值不等式的结构，而待定系数法则是帮助我们进行合理配凑的技巧之一，待定系数由配凑的目标确定，它常依赖于等号成立的条件、与相关常数的吻合以及分组后的局部不等式的构造[2]。也就是说，求待定系数的过程与应用均值不等式的过程自然地统一起来了。

常见的不等式公式，如a2+b≥2等等，其中不定值在什么情况下，以什么数值出现时，其公式会产生什么变化，这些都需要谨记。

应用最值定理必须注意：一正二顶三相等。“一正”即各项或各因式必须为正数；“二定”即必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；“三相”等要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。

2.均值不等式具体应用

2.1用于平面几何

各省市的高考试题中对均值不等式的考查，均以最值问题为背景，利用均值不等式求最值问题是考生必须掌握的基本技能和重要的解题方法。

例1：设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acosB-bcosA=c。其中不等式成立的前提条件a，b为正数。

点评：这道题从表面上看是简单的几何模型问题，但是在求解面积时涉及到面积的最大值，进而将集合问题转换为均值不等式应用问题。只有将求解中t放入根号中变为t2，出现均值不等式的定值才能顺利实现解题的目标。

均值不等式是高中数学教学中重要内容，在数学解题及生活实际中有着广泛的应用。但是在实际的解题过程中，很多学生在遇到看似复杂的问题时不能灵活的使用不等式来解决问题。本文通过对均值不等式在几何解题中的应用研究，总结了均值不等式的基本知识，并在此基础上分析均值不等式的具体应用，希望以此对中学数学中均值不等式的理解和应用有所帮助。

参考文献：

[1]杨素云.高中生对均值不等式的理解[D].华东师范大学.2010.5.