改进的复值快速独立分量分析算法

尹洪伟，李国林，路翠华

（海军航空工程学院，山东烟台264001）

改进的复值快速独立分量分析算法

尹洪伟，李国林，路翠华

（海军航空工程学院，山东烟台264001）

针对复值快速独立分量分析算法（CFastICA）对初始权值敏感且收敛速度较慢的问题，提出了改进的CFastICA算法。该算法首先利用牛顿下降因子优化牛顿迭代的收敛方向，使分离矩阵在一定程度上接近最优值，然后去除牛顿收敛因子，利用普通牛顿迭代实现分离矩阵快速收敛。仿真实验表明：提出的算法拥有和牛顿下降CFastICA同样的收敛精度，收敛时间比牛顿下降CFastICA减少了近53%，且在低SNR下，提出算法的综合收敛性能明显优于CFastICA和牛顿下降CFastICA算法。

盲源分离；复值快速独立分量分析算法；牛顿迭代

0 引言

由于盲分离算法对信号先验知识无依赖性，近年来其在雷达、声呐、语音、通信、图像和医学等领域都得到了快速发展［1-2］。而一些领域，如阵列信号处理，其信号往往是复数形式，针对该特点，实数盲分离算法被扩展到了复数领域［3］。其中最典型的算法为复值快速独立分量分析（FastICA）算法，该算法因采用牛顿迭代而具有较快的收敛速度。但该算法存在一个大的缺陷，即当初始分离矩阵偏离最优值较远时，特别是含噪声条件下，不容易收敛到到最优点，甚至无法收敛［4-5］。为解决这个问题，国内外不少学者进行了研究。但总体来看，对该问题的解决方法主要有三种：一是对算法中非线性函数的优化，如文献［6—8］，该方法虽可以在一定程度上缓解上述问题，但是也只是起到改善的效果，并不能从根源上解决；二是引入牛顿下降因子以保证牛顿迭代朝着最优值方向，如文献［9—11］，虽然效果很好，但这使得本来具有快速收敛优势的牛顿算法速度被削减；三是先利用最速梯度法改善初始分离矩阵，然后再利用牛顿迭代获取最优分离矩阵，如文献［5，12］，但是该算法中的所谓最速梯度，实际上就是牛顿算法［12］，并不能起到良好的稳定效果。本文针对此问题，提出了改进的CFastICA算法。

1 复值ICA原理与信号预处理

1.1 复值ICA原理

早在20世纪60年代，Darmois就提出：若果源信号是相互独立的，那么通过恢复混合后信号之间的相互独立性就可得到源信号的估计［13］。

根据上述原理，假设有N个源信号s1（t），s2（t），…，sN（t），信号在接收端瞬时线性混合，则接收信号可表示为

式中：X=［x1，x2，…，xm］T为接收信号矩阵；S=［s1，s2，…，sN］T为源信号矩阵；AϵCm×N（m≥N）为信号混合矩阵；n=［n1，n2，…，nm］T为观测白噪声，且ni的方差为σ2并与源信号相互独立。

盲分离就是寻找一个代价函数J（W ），并通过某种优化准则使J（W ）达到最优值，此时的W即为所需分离矩阵，源信号的估计可以表示为

式中：y=［y1，y2，…，yN］T为源信号的估计。但是通常分离信号与源信号在幅值和顺序上有所区别。

1.2 信号白化预处理

白化预处理是盲分离前十分重要的一步，它不仅可以改善盲分离算法的稳定性，还可对接收信号进行降维（当m≥N时）以减少计算量。

白化处理过程如下，设接收信号X已去均值，则其自相关矩阵可表示为

对RX特征值分解，可得

式中：U=［u1，u2，…，um］T为特征向量矩阵；Λ= diag｛［λ1，λ2，…，λm］｝为特征值矩阵。

当m=N时，白化矩阵为

当m＞N时，需对信号降维，假设特征值λ1≥λ2≥…≥λm，若能获取信号个数N，则白化矩阵可以表示如下

式中：US=［u1，u2，…，uN］T为信号子空间向量矩阵；ΛS=diag｛［λ1，λ2，…，λN］｝为其对应的特征值矩阵。而源信号数目的估计可以通过MDL，AIC等算法获取［14］。

于是，白化后信号为

2 CFastICA算法

CFastICA算法是FastICA算法引入到复值领域的扩展形式，其代价函数为

式中：W=［w1，w2，…，wn］T为复数分离矩阵；G为非线性函数；Z为白化后的信号矩阵。

在复值盲分离中通常假设分离信号幅值为1，等价于在E｛WZ2｝=WHW=I下最优化代价函数，于是式（8）可写为

利用牛顿算法对式（9）进行优化，可以得到分离矩阵W的迭代公式

式中：g为G的导数；g'为g的导数。非线性函数的选择通常有以下三种：

3 改进的CFastICA算法

为改善算法对初始矩阵的敏感性，引入牛顿下降法，在迭代公式（3）中加入牛顿下降因子，可得

式中：0＜α＜1为牛顿下降因子。

在式（10）和（11）的迭代公式中利用了白化信号特性E（ Z ZH）=I，但是当m＞N时，由1.2节分析可知

由此，可见E（ Z ZH）≠I，特别是SNR较低时更为明显。于是，对式（11）修正，可得

引入牛顿下降法虽提高了收敛稳定性，却降低了算法的收敛速度，为改善该缺陷，本文提出在信号分离初期利用牛顿下降法进行分离，当分离矩阵达一定精度之后，转为普通CFastICA算法，这样既能保证算法的稳定性，又能提高收敛速度。

改进后的算法步骤如下：

1）对接收信号X预处理，得到白化信号Z；

2）设置初始收敛因子0＜ε≪1，0＜δ＜ε和初始分离矩阵W0；

3）利用式（13）迭代获取分离矩阵W；

4）判断分离矩阵是否满足W—Wlast≤ε（Wlast为迭代前分离矩阵），若不满足，返回步骤3）；

5）利用去掉牛顿下降因子α的式（13）进一步迭代，获取分离矩阵W；

6）判断分离矩阵是否满足W—Wlast≤δ，若不满足，返回步骤5）；

7）获取分离信号y=WZ。

4 实验仿真与分析

为验证算法有效性，选取3个源信号，图1给出了信号的局部视图，其中信号1为频率1 MHz的余弦信号，信号2为调频率等于4×1011Hz/s的LFM信号；信号3为频率2.5 MHz的正弦信号。仿真信号采样点数为5 000，仿真时信号采用复数形式，计算机主频2.1 GHz。

混合矩阵A利用Matlab随机产生，经混合后的信号形式如图2所示。由图可以看出，接收信号是杂乱无章的，无法辨析源信号。为此，需要对信号进行分离。

利用改进的CFastICA算法分离后的波形如图3所示，可见混合信号经盲分离后，波形得到了很好的恢复，只是信号的顺序和幅度与源信号略有差异。

图1 源信号波形Fig.1 Waves of source signals

图2 接收信号波形Fig.2 Waves of received signals

图3 分离信号波形Fig.3 Waves of separated signals

为说明本文算法的分离性能，首先给出收敛性能指数PI的定义

式中：gij为全局矩阵［15］G中的元素；maxjgij为G中第i行元素中模的最大值；maxjgji为第j列元素中模最大值，且PI值越小，分离性能越好。

实验设置牛顿下降因子α=0.2，每种算法的初始分离矩阵均相同。图4给出了SNR=5 dB时CFastICA算法、牛顿下降CFastICA算法和本文算法的收敛速度对比。

从图4中可以看出，当初始分离矩阵不理想且噪声较大时，牛顿下降法收敛速度缓慢，CFastICA算法虽收敛速度很快，但不能收敛到最优值，而本文算法在初始阶段因采用牛顿下降法而收敛较慢，当达到一定收敛性能时，改用牛顿迭代而迅速收敛，改进的算法既保证了快速收敛，同时又具有与牛顿下降CFastICA算法同样的收敛性能。

进一步提高信噪比，图5在SNR=25 dB时给出了算法的收敛性能，可以看出随着SNR的提高，牛顿下降法和本文算法收敛速度都有很大提高，且在三种算法收敛性能都提高的同时，本文算法收敛性能同样优于CFastICA算法。而当接收信号中不含有噪声时，如图6所示，3种算法的收敛性能几乎一致。因此，本文算法在观测数据含噪声条件下更具有优势。

图4 SNR=5 dB时算法收敛速度Fig.4 Convergence speeds ofthe algorithms when SNR=5 dB

图5 SNR=25 dB时算法收敛速度Fig.5 Convergence speeds of the algorithms when SNR=25dB

图6 无噪声时算法收敛速度Fig.6 Convergence speeds of the algorithms when there’s no noise

从运算时间方面，表1给出了3种算法在SNR =20 dB时对应的分离时间，可以看出CFastICA算法具有最短的运算时间，牛顿下降CFastICA运算时间最长，而本文算法处于两者之间，其运算时间比CFastICA算法慢40.47%，比牛顿下降CFastICA快52.85%。当无噪声时，由图6可知三种运算时间应是相当的，而有噪声特别是SNR较低时，综合收敛精度和运算时间来看，本文算法性能较好。

表1 不同算法运算时间对比Tab.1 Time comparison of different algorithms

5 结论

本文提出了改进的CFastICA算法，该算法结合CFastICA算法和牛顿下降CFastICA算法的优点，较好地解决了CFastICA算法的初值敏感和牛顿下降CFastICA算法收敛速度慢的问题。仿真实验表明，提出的算法在低SNR拥有更好的性能。但算法收敛速度与CFastICA算法还有一定差距，下一步的研究方向应集中在非线性函数方面，通过优化非线性函数来提高收敛速度。

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An Improved Complex Value Fast ICA Algorithm

YIN Hongwei，LI Guolin，LU Cuihua
（Naval Aeronautical and Astronautical University，Yantai 264001，China）

An improved CFastICA algorithm was proposed to solve the problem of initial value sensibility and to improve convergence speed.First，Newton decline factor was used to optimize Newton iteration convergence direction to make the separated matrix be close to the optimal value to a certain extent，then remove the convergence factor and use the original Newton iteration realize fast convergence.Simulation results showed that the proposed algorithm had the same convergence precision with Newton decline CFastICA，and its convergence time was 52.85%less than Newton decline CFastICA.The combination property of proposed algorithm was significantly better than both of CFastICA and Newton decline CFastICA under the low SNR.

blind source separation；complex value FastICA；Newton iteration

TN974

A

1008-1194（2015）05-0022-04

2015-02-11

尹洪伟（1987—），男，江苏徐州人，博士研究生，研究方向：目标中近程探测、识别与信息对抗技术。E-mail：yinhongwei168@126.com。