数形结合方法在小学数学教学中的应用

刘敬霞

恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”这一科学的精髓就是数学思想方法。数形结合作为一种重要的数学思想方法，通过数与形的相互转化来解决数学问题，将抽象的数学语言转化为直观的图形，使抽象的问题直观化、形象化、简单化，并学会数学的思考和解决数学问题。

罗增儒在《数学解题学引论》中，从信息加工角度将“数形结合”理解为：“数形结合是一种极富数学特点的信息转换，数学上总是用数的抽象性质来说明形象的事实，同时又用图形的性质来说明数的事实。”数形结合既是是一种重要的数学思想也是一把解题的双刃剑。数形结合方法在小学数学教学中的应用主要体现在问题解决上。

一、以数解形

“以数解形”，就是利用“数”的精确揭示“形”中蕴含的数量关系，反映图形的某些属性。它往往借助于数的精确性来阐明形的某些属性，表示形的特征，立体图形比较抽象，但大多可以用简单的数来表示。

如教学五年级《长方体的认识》时，可借助精确的“数”来表示“形”的特征。先出示6、12、8三个数字，学生从这三个数字中找找长方体的面、棱长、顶点的特征：6个面，12条棱，8个顶点。6个面中有两个相对的面是相等的，12条棱中有4条相对的棱相等。这种认识方式对后来求长方体的表面积、棱长之和有很大的帮助，初学时弄清所以然就避免出现不必要的错误。学生一看到6、12、8这几个数字，就能想到长方体的各个特征，在脑子中建立起长方体的模型。教师巧妙渗透数形结合的思想方法，可以培养学生的数感，帮助学生养成用数形结合方法解决问题的习惯，形成“数形结合”的意识，最终上升为思想。

二、以形助数

（一）利用图形解决鸡兔同笼问题

小学三年级的奥数中有鸡兔同笼这类问题，对于这类问题的讲解，借助“形”的直观学生更容易理解和接受。解题中所画的图形，也把枯燥的奥数问题变得生动有趣。

问题：一只鸡有一个头2只脚，一只兔有一个头4只脚.如果一个笼子里关着的鸡和兔共有10个头和26只脚，你知道笼子里有几只鸡、有几只兔吗？

分析：这是古代的民间趣题，叫“鸡兔同笼”问题。

①先画10个头：

②每个头下画上两条腿：

数一数，共有20条腿，比题中给出的腿数少26-20=6条腿。

③给一些鸡添上两条腿，让它变成兔.边添腿边数，凑够26条腿。

每把一只鸡添上两条腿，它就变成了兔，显然添6条腿就变出来3只兔.这样就得出答案，笼中有3只兔和7只鸡.

借助画图，只用数一下头和腿的数量就把这么“难”的奥数问题解决了，那么谁能用自己的语言总结一下这类方法的步骤？学生在用语言描述的过程其实是对此类问题解题方法的总结，也有助于其言语思维的发展。

（二）利用图形解决分数应用题

修一条公路，第一天修了它的1/6，第二天修了它的1/8，第一天比第二天多修15千米，这条路有多长？

求此公路多长，即求单位“1”。根据“单位1×对应分率=部分量”可知“单位1=部分量÷对应分率”。题中，部分量是“第一天比第二天多修15千米”，那对应分率就该是“第一天比第二天多修路程对应的分率”，题目没直接给出，通过图可知=1/6-1/8。列式15÷（1/6-1/8）=360（千米），这条路长360千米。

学生对分数乘除法的意义模糊，数量关系混乱，不知如何下手。借助图形就很好理清复杂的数量关系。教学时，应引导学生尝试数形结合的方法。当它内化为学生的意识、思想后，产生的正能量是不可估量的。

（三）用几何图形解决代数问题

辅导六年级的学生时，有一道题：甲正方形的边长比乙正方形的边长多3，乙正方形的面积比甲少63，甲乙两个正方形的面积各是多少？

这看似一道简单的代数问题，但用算术法不结合图形很难找到头绪。如果设未知数列方程呢？ 解：设乙正方形的边长为X.

数量关系为：S甲-S乙=63

（X+3）2-X2=63

二次方程是九年级的知识，六年级学生不会解，显然这个方法行不通。下面借助直观的图形来解决这道题。结合图形易知A、B的长宽都一样，因此二者面积一样，C其实是边长为3的正方形。通过分析，可先求C正方形的面积为3×3=9，A、B的面积和为63-9=54，SA=SB=54÷2=27。从图上知，A的长为27÷3=9。乙正方形的边长为9，甲正方形的边长为9+3=12，甲的面积为9×9=81，乙的面积为12×12=144。

通过以上几个案例不难发现，运用数形结合的方法去分析解决数学问题，可以化抽象为直观，化繁难为简捷。教师在教学过程中引导学生尝试、运用这种方法，无形中学生分析问题和解决问题的能力就会提高。

日本数学史家米山国藏在他的著作《数学的精神、思想和方法》中说道：“不管他们（指学生）从事什么业务工作，即使把所教给的知识（概念、定理、法则和公式等）全忘了，唯有铭刻在他们心中的数学精神、思想和方法都随时随地地发生作用，使他们受益终生。”虽然小学的数学知识很簡单，但是如何既把这些简单的知识“传授”给学生，又渗透给他们很好的数学思想方法，让其在以后的人生中实现终身学习和可持续发展，是需要一定的理论指导和实践探索的。