在技巧中找规律

武海燕

自从导数进入高中课堂，几乎每年各省高考题中它都不会缺席，并且难度逐年增加。导数作为解决数学问题的一个很好的工具，在命题方向上重在两个方面：一是研究对象的多元化，由研究單一函数转向两个或多个函数；二是研究内容的多元化，由用导数法研究函数的性质（单调性、极值、最值）转向运用导数综合研究函数的性质，及探讨函数的零点个数，方程的解的个数，图像的交点个数、不等式的证明等问题上。

一般讲，高中数学中导数可用于解决以下几个问题：

（1）与切线有关的问题（导数几何意义的应用）。

（2）函数的单调区间，极值，最值的求解。

（3）与函数的单调性，极值，最值有关的参数问题。

（4）方程的解的个数，函数的零点个数，图像的交点个数问题上。

（5）用导数法解决与不等式有关的问题。包括不等式恒成立，证明不等式，比较大小。

近几年各省高考都重在导数与不等式的综合问题上。考察了学生综合与灵活的应用所学的数学思想方法独立的思考、探索和研究，创造性的解决问题的能力。

下面就有关不等式问题的一种题型专门进行探讨。以一道例题来看：

由以上解题过程可以总结得到证明这种一边是和的不等式的步骤如下：

（1）利用前一问的结论先构造一个不等式，通常都对函数中的参数取特殊值，将函数具体化。

（2）对所构造不等式中的x用合适的值进行替换，如此题中要出现ln（n+1），且最后只有一个对数，有x>1，所以想到令 .

（3）对替换后关于k的不等式中的k从1到n赋值，再用累加法即可得所证。

下面就以高考题为例应用以上步骤规律解题。

看起来一道没有思路的题目，据题目的特点，只要套用以上总结的步骤即可。再看2014年陕西理科高考题第21题：

应用：设函数f（x）=1n（1+x），g（x）=xf`（x），x≥0，其中f`（x）是f（x）的导函数.

（1）g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x））n∈N+，求gn（x）的表达式；

（2）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；

（3）设n∈N+，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n-g（n）的大小，并加以证明.

解：（1）先归纳得表达式，再用数学归纳法给以证明（过程略）。

（2）已知f（x）≥ag（x）恒成立，即 恒成立

由导数法可求得，a的取值范围是[-∞，1）（过程略）

（3）由题设知

函数解答题的特点往往是起点低，落点高，具有很强的综合性和灵活性，尤其是构造函数法在解决恒成立问题，证明不等式，及比较大小中经常用到，要根据具体的问题灵活应用。

（作者单位：西北工业大学启迪中学）