数值方法在尾矿库调洪演算中的应用及研究初探

刘波 王光凯

摘要：在某些矿山中，尾矿库对矿山安全具有重要作用。通过数学化、根据已知条件最终确定尾矿库调洪库容和设计坝高。提出具有较强实用性的调洪演算方法，并可根据条件不同及时变化。

关键词：尾矿库、排洪、调洪演算

1.前言

尾矿库调洪演算的目的是根据既定的排洪系统确定所需的调洪库容及泄洪流量，对一定的来水过程线，排水构筑物愈小，所需的调洪库容就愈大，坝也就愈高。尾矿库设计中常常需要通过几种不同尺寸排水系统的调洪演算，来合理地确定坝高及排水构筑物的尺寸，从而使尾矿库在满足使用功能的条件下达到整个工程造价最小的目的。

2.调洪演算的数学化

尾矿库调洪演算的基本思路是：在已知尾矿库的标高-库容关系曲线和洪水流量过程线等前提下，针对预先制定的几种调洪方案（包括泄流条件、调洪方式、排水构筑物参数等），由该尾矿库的调洪初始水位开始依次计算，直到洪水过程结束，分别给出各时段末排洪系统的泄流量、尾矿库蓄洪量等，由这些参数最终确定尾矿库调洪库容和设计坝高。

3.计算方法及其描述

从尾矿库洪水入泄关系和水量平衡方程出发，将数值计算方法应用于尾矿库调洪演算，采用拉格朗日插值法将尾矿库库容曲线及洪水入泄曲线解析化，并采用精度较高的四阶龙格-库塔法求解水量平衡微分方程与入泄关系，实现尾矿库库容的调洪演算。

3.1尾矿库入泄关系和水量平衡计算

3.1.1尾矿库排洪建筑物的泄洪能力

目前，通常选用排水井-涵管（或隧洞）或排水斜槽-涵管（或隧洞）作为尾矿库的排洪系统。排洪系统的泄流能力随尾矿库内水位的变化而变化：当水位较低时，排水井（或排水斜槽）的进水能力小于排水涵管无压满流时的最大泄流能力；反之亦然。前者以排水井（或排水斜槽）的进水能力作为排水系统的泄流量，后者以排水涵管的泄流能力作为排水系统的泄流量。

（1）排水涵管泄流能力

（1）

式中：为排水涵管的泄流量，m3；为过水断面，m2；为水力半径，m；为排水涵管的敷设坡度；为谢才系数。

a）排水井的泄流能力

当时， （2）

当时， （3）

式中：为井顶溢流的泄流量，m3/s；为井顶上的水头压力，m；为排水井直径，m；为重力加速度，9.8m/s2；为井顶溢流排水井的流量系数，采用0.51； 为流量系数，随的值而定。

b）窗口式排水井

（4）

式中：为水面以下进水窗口的面积和，m2；为水面至被淹没窗口中心的距离，m；为流量系数，矩形和圆形窗口取0.6。

（2）排水斜槽的泄流能力

（5）

式中：为斜槽断面面积，m2；为水面至斜槽中心的距离，m；为流量系数，按水流非全部收缩计算。

3.1.2尾矿库水量平衡方程

有限差形式的水量平衡方程，即在某一时段内（），入库流量与尾矿库下泄流量之差应等于该时刻内尾矿库库内水量的变化值，水量平衡方程的有限差分形式可表示为：

（6）

式中：、分别为时段初的入、出库流量；、分别为、时段初的尾矿库库内水量；为时刻长。

3.2尾矿库调洪演算的数值方法

3.2.1数值法演算的基本原理

在采用数值方法进行尾矿库调洪演算时，通常采用尾矿库水量平衡方程的微分形式。与式（6）所表示的尾矿库水量平衡方程的有限差分形式相比，尾矿库水量平衡微分方程主要从尾矿库水位与库面积或库容的动态变化关系出发，来描述某一时段内尾矿库积水量的变化情况。尾矿库水量平衡微分方程如式（7）所示。

（7）

式中：为尾矿库库容，是尾矿库水位Z的函数；t为时间；为入库流量；为出库流量，是尾矿库库容的函数；、和分别为尾矿库的起调水位、起调库容和起调时刻。

3.2.2尾矿库水量平衡微分方程入泄关系的解析法

基于尾矿库的泄洪能力，依照尾矿库入泄关系曲线和尾矿库水量平衡微分方程，可求解尾矿库各时段的泄洪量过程线及库容、库水位的变化过程线。尾矿库水量平衡微分方程与入泄关系的数值解析法求解就是对式（7）的一阶常微分方程初值求解，可采用四阶龙格-库塔（Runge-Kutta）法。四阶龙格-库塔法是4级计算方法，求解精度较高、简便，相应的尾矿库库容Vn，各级系数K1，K2，K3和K4如式（8）所示。

公式（8）

式中， 为插值计算时的时间步长；为四阶龙格-库塔法中每完成一步需四次计算的函数值； 、分别为时刻的入库流量和出库流量，其他符号意义同前。

3.3尾矿库特性曲线的处理方法

由尾矿库调洪演算可知，尾矿库的水位-庫容曲线和库容-泄流曲线等尾矿库特性曲线通常都是单一的曲线，尾矿库库容-泄流曲线、水位-库容曲线等特性曲线，一般是以离散的列表函数形式给出。目前，从给定的尾矿库水位-库容曲线结点或列表函数形式出发，结合尾矿库特性曲线通常是单一曲线线型的实际，应用较多的插值法有拉格朗日（Lagrange）插值法、埃尔米特插值法、样条插值法、逐次线性插值法等。

在多项式的插值公式中，当插值次数为2时，便得到如下的一元三点插值公式：

（9）

式中，V（Z）为ti～ti+2时段内尾矿库的库容；Z为ti～ti+2时段内尾矿库水位；Zi（i=0，1，2…n）、Vi（Z）（i=0，1，2…n）分别为ti（i=0，1，2…n）时刻的尾矿库水位和库容。

采用式（9），就可以得到水位-库容的二次函数。另外，在尾矿库水位-库容曲线上选择适当的结点，根据尾矿库泄流实际情况代入相应的泄流量公式，便可得出一组尾矿库库容-泄流的已知点（q1，V1）、（q2，V2）…（qn，Vn）。此后，将相邻库容-泄流的三点代入一元三点插值公式，便可表示泄流量与库容的关系。

4.调洪演算时段的调整

在大多数的尾矿库调洪演算中，对于尾矿库的入库洪水过程，一般采用等时段方式，即时段长是固定的（如恒定为2h或更长）。尾矿库属山区小流域，这个固定时间不宜取得太大，为解决这一问题，首先对入库洪水过程进行插补，使其成为较小时段长1h或0.5h的洪水过程，然后再插补出对应于起调时间及泄洪方式各变动时刻的流量值。这样入库洪水过程就由等时段成为变时段，保证了每个时段内的泄洪方式是不变的或者唯一的，同时也缩短了调洪演算的时段长，既方便了尾矿库调洪演算，又有利于调洪演算精度的提高。

5.结论

（1）从尾矿库入泄关系和水量平衡方程出发，将数值计算方法应用于尾矿库调洪演算中，采用精度较高的四阶龙格-库塔法求解尾矿库水量平衡微分方程与入泄关系，并采用拉格朗日插值法将库容曲线及入泄曲线函数解析化，可较方便、准确的实现尾矿库调洪演算，该研究方法对尾矿库调洪演算有一定的参考价值。

（2）提出的数值方法对变时段、变动泄流方式等复杂情况的尾矿库调洪演算，具有较强的实用性。

6.参考文献

[1]王山东，赵景程，王昌民，陈佩富.数字尾矿研究，[J].金属矿山，2004，10：47-49；