欧氏空间标准正交基的求解方法的再探

【摘要】本文总结了求解几种标准正交基的方法，它们分别是施密特正交化方法、初等变换法、合同变换法和Givens 变换法等方法。

【关键词】标准正交基 施密特正交化方法 初等变换 合同变换 Givens 变换法

【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）10-0155-02

标准正交基是欧氏空间的重要内容，在正交变换、二次型的正交线性替换等教学内容中占据着重要地位。因此，探究标准正交基的求解方法对理解标准正交基内涵至关重要。众所周知，在《线性代数》课程教学中，一般采用施密特正交化方法来求解标准正交基，其最大特点就是逐步扩充得到正交基，再标准化得到标准正交基。构造过程层次分明、结论直观，但计算量大，而且也不能清晰体现所求标准正交基与原基间的关系。本文在讨论施密特正交化方法的同时总结了另外3种求解标准正交基的方法，这些方法较前者具有计算简单的特点，同时也有利于更好地理解标准正交基与原基之间的关系。

设ε1，ε2，…εn为n维欧氏空间v中的一向量组，如果有（εi，εj）=δij，則称ε1，ε2，…εn为V的一组标准正交基。下面，我们探讨标准正交基的求解方法。

一、施密特正交化方法

Givens 变换法相对其他三种方法来讲不容易理解和掌握。这是由于该方法需要学生对初等旋转矩阵和旋转变换有一定的了解，而这些知识点一般在《矩阵论》课程中才涉及到，而在《线性代数》课程教学中一般不涉及。Givens 变换法的核心理论基础还是矩阵的初等变换，只不过是更特殊的初等变换而已。需要指出的是，本文总结的方法都是已有的方法，它们的理论基础也是众所周知的。我们所做的工作就是对这些方法进行了更深入地分析与比较，这或许有助于学生对这个知识点的理解与掌握。

参考文献：

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作者简介：

朱凤娟（1972-），女，汉族， 宁夏中宁县人，硕士，副教授，研究方向：代数学。