例说利用几何变换求线段和的最小值

张海华 潘从清

新课程改革及新中考改革，都要求学生学会自主学习，尝试探疑，发现知识，寻找规律。故近年各地中考热点之一是动手操作性的探索问题，即通过已知条件，结合数学经验，经过几何图形变换探索其内在联系，发现规律，得出结论。利用几何变换求线段和的最小值，就属于此类题型。本文结合具体的例子说明如何利用几何变换求线段和的最小值。

一、利用图形的对称变换

1.求两条线段和的最小值

例1.如图1已知AB为⊙O的直径，AB=4，OC⊥AB于O，点D在弧BC上，2倍的弧BD等于弧DC，点P是OB上一动点，则PC+PD的最小值为 。

解析：由OC⊥AB于O知，延长CO交⊙O于点E，则点C、点E关于AB对称，连接DE交OB于P，则PC=PE，此时PC+PD=DE最小，连接DC，则∠CDE=90°，又因为2倍的弧BD等于弧DC，所以∠E=30°，则DE=CE·cos30°=4×=，则PC+PD的最小值为。

例2.（2004年黑龙江省中考试题）如图2，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC边上，且DM=2，N是AC上的动点，则DN+MN的最小值为 。

解析：注意到正方形关于对角线AC对称性，连接BN、BM，则DN+MN=BN+MN≥BM（B、M、N共线时等号成立）。

又根据两点间线段最短知，当B、M、N共线时，DN+MN转化为线段BM，此时最短，由条件可得BM=10。

所以DN+MN的最小值为10。

2.求几条线段和的最小值

例3.（初中数学奥林匹克竞赛教程）如图3，∠AOB=45°，角内有一点P，PO=10，两边上各有点Q、R（均不同于O），则△PQR周长的最小值为 。

解析： 作P关于OA、OB的对称点，根据对称性质可知

PQ=P1Q，PR=P2R。

即求P1Q+QR+ P2R的最小值，由两点间直线距离最短，可知当Q、R分别为P1 P2与OA、OB的交点时，P1Q+QR+ P2R值最小。

∵∠P1OA=∠POA，∠POB=∠P2OB，

∴∠P1O P2=90°。

又P1O= PO=P2O=10，

∴P1P2=，即为所求。

二、利用图形旋转变换

例4.如图，D是边长为7的等边三角形ABC外一点，且DA长为8，连接DB、DC，求线段DB+DC的最小值。

解析： 将线段DB绕D点旋转60°（向形外），到DE，连接BE、EC，则△BDE是等边三角形，从而推出△BAD≌△BCE，AD=CE。

又∵BD+DC=DE+DC≥CE，

∴当且仅当E、D、C三点在同一直线上时，取等号。

即当∠BDC =120°时，BD+DC的和最小 ，最小值为8。

三、利用图形平移变换

例5.（初中奥林匹克竞赛教程）张村和李庄在河的两侧，到河两岸的距离分别为6千米和2千米，河宽2千米，两村的水平距离为6千米，现欲在河上修一座桥，使自张村过桥到达李庄的距离最短（假设河的两岸平行，且桥要垂直于河岸修建），请在图5上标出桥址，并求出此最短距离。

解析：如图5所示，作线段AA1⊥L1且AA1=2，连接A1B，交L2于点C，过C 作CD⊥L1于点D，则CD即为所求桥址，连接AD，则有AD+DC+CB= AA1+A1B，构造Rt△A1PB，则

A1P=6+2=8，PB=6。

∴A1B=10。

∴最短距离为AA1+ A1B=10+2=12（千米）。

综上所述，求线段和的最小值问题通常需要通过图形的对称、旋转、平移等几何变换，转化为求某一线段的长度的问题，使相对复杂、困难的问题简单化，充分体现了“转化”这一数学解题思想。

解决这类问题，我们可以通过微课设计课堂，还学生自由探究的时空，没有过多的师生对话，也没有过多的铺垫，多的是师生之间、生生之间有效的双边互动，让每个学生都有展示自己的机会。教师通过适时点拨、调节、激发学生思维的火花，营造相互质疑、争执的良好氛围，使学生在互动中探究解决问题，落实知识点。

教师不急于用自己的思考来干扰学生的思考，而是作为一名导演，和学生一起交流、探究，并抓住契机适时地加以点拨、引导。教师还可以根据学生的板演、练习的反馈信息，抓住关键，点拨存在的问题，应当注意的问题，并教给学生分析问题、解决问题的方法。

在学生依靠自己的力量无法解决问题时，教师组织、引导学生小组或同桌讨论，充分发挥学生的主观能动作用，给学生充分的时间合作尝试解决。学生在积极思考和探索中，亲身体验成功的快乐，激发学生继续学习的愿望和热情。

总之，我们在平时的教学实践中，敢于创新，大胆探索，善于总结，就能有效地解决求线段和的最小值问题，有效地提高教学质量。