非线性最小二乘法的电力系统频率跟踪

高颖龙,王小华,卢 进,朱怀毅

(长沙理工大学 电气与信息工程学院,湖南 长沙 410004)

非线性最小二乘法的电力系统频率跟踪

高颖龙,王小华,卢 进,朱怀毅

(长沙理工大学 电气与信息工程学院,湖南 长沙 410004)

提出了一种基于非线性最小二乘法实现频率跟踪的算法,对各种信号模型进行了仿真,并利用FPGA实现该算法,设计是在CycloneIII系列芯片EP3C80F780C8中完成,主频采用50 MHz。实验表明,该系统具有设计简单、可靠性高、跟踪效果好等特点,具有良好的实用价值。

频率跟踪;非线性最小二乘;FPGA

对电力系统频率的跟踪,主要有最小均方差自适应算法、卡尔曼滤波算法、递推最小二乘法和误差最小化原理类算法等。最小均方差自适应算法原理简单,但跟踪精度不高[1]。卡尔曼滤波算法有良好的跟踪能力,但该算法需要事先确定有关噪声的统计参数,计算量大[2]。递推最小二乘法有比较快的收敛速度,但只适用于平稳环境,对于非平稳环境跟踪效果不好[3-5]。设计采用非线性最小二乘法原理实现,属于误差最小化原理类算法的一种,该算法能比较精确的计算频率,通过参数的设定也能较好地解决计算量大的问题。设计采用FPGA实现频率跟踪,可编程的FPGA器件具有内部资源丰富、处理速度快、可在系统内编程并有EDA软件支持等特点,因此利用FPGA实现非线性最小二乘法的电力系统频率跟踪,可使电路设计更加灵活,提高系统的可靠性,缩短设计周期,降低成本。

1 算法基本原理

因对于任何一个周期信号f(t)均可用一个傅里叶级数表示,所以电力系统的模型可表示为

(1)

其中,an和bn是第n次谐波分量的幅值;ω0是基波角频率,ω0=2πf0,f0即为所求电力系统频率。因在实际电力系统中可认为信号不含直流分量,所以令a0=0,谐波分量最大值定义为N,于是式(1)可表示为

(2)

设ω0已知,为计算an和bn,设f(t)是在M步长均匀采样点上,即在f(tk)中k=1,2,…,M。导出均匀采样模型为

(3)

由电网特性可知,除基波外,3次、5次和7次等奇次谐波影响权重较大,偶次谐波与间歇波等幅值小,持续时间短,可以忽略[6]。因此,令n∈{1,3,5,7,…,nh},定义nh为最大谐波分量。所以可将式(3)改写为矩阵方程

Hx≈y

(4)

其中

H=[HaHb]

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

利用最小二乘法[7]可解得

x≈(HTH)-1HTy

(10)

以上计算过程是基于ω0已知的前提下进行的,而实际ω0是未知的,即H矩阵未知,所以该问题变成一个非线性最小二乘问题,将式(10)代入式(4)有

H(HTH)-1HTy≈y

(11)

从而可得到真实值与估计值的误差e

e=[I-H(HTH)-1HT]y

(12)

在式(12)中只包含一个未知数ω0,y是输入,ω0可通过求e的二范数平方的最小值来确定。用A表示I-H(HTH)-1HT,则式(12)可表示为

e=Ay

(13)

图1 与的关系图形

2 Matlab仿真

针对电力系统模型做如下仿真[8],设定取样窗口为10ms,取样频率为1.6kHz,最大谐波分量取13次谐波,仿真模型如下:

(1)缓变频率模型。设定电力系统频率为正弦波变化,由49.5Hz缓慢变为50.5Hz,如图2所示,可观察到,频率跟踪波形和实际频率波形仅有短暂延时,误差也控制在很小的范围内,最大误差不超过0.003Hz。

图2 缓变频率的跟踪结果

(2)突变频率模型。设定电力系统频率由50Hz突变为50.5Hz,又由50.5Hz突变为49.5Hz,如图3所示。可观察到,在频率突变的情况下,利用该算法能较快的跟踪上突变频率,误差也能控制在较小的范围内。

图3 突变频率的跟踪结果

(3)带噪声缓变频率模型。设定电力系统频率由49.5Hz缓慢变为50.5Hz,且带有高斯噪声,信噪比为40dB,仿真波形如图4所示,可以看到,信噪比为40dB的高斯噪声对于频率跟踪的影响较小,频率跟踪波形和实际频率波形除了有短暂延时外,误差也过小,最大误差不超过0.005Hz。

图4 带噪声缓变频率的跟踪结果

由以上仿真结果可知,利用非线性最小二乘法可快速,准确的实现电力系统频率的实时跟踪。适当的参数选择能使跟踪效果更准确,最高谐波分量选取13次谐波比选取7次谐波仿真结果更精确,适当的取样窗口长度也将影响仿真精度。

3 FPGA实现

3.1FPGA顶层设计

在设计中电力系统的频率设定在48.5～51.5Hz,频率搜索间隔为0.1Hz,采样频率为1.6kHz,采样窗口长度10ms,最大谐波分量定义为13次谐波。图5为整个FPGA设计流程图。CLK_50M为系统时钟50MHz,RST为复位端,SW为拨码开关,可控制频率预设值,Seg7为7段数码管输出[9-10]。

图5 FPGA设计流程图

系统时钟为50MHz,经PLL时钟模块处理,分频出1.6kHz和1MHz两个时钟,地址计数模块产生其他模块所需的控制信号和控制地址,使得算法实现模块的大量数学运算得以顺利进行,Control算法实现模块是整个系统设计的核心,也是系统得以实现的关键部分,电力系统频率设定在48.5～51.5Hz,搜索间隔为0.1Hz,则电力系统频率共计31个,与其对应的ω0有31种情况,先求出这31种情况下的A,因A只与ω0和t有关,采样窗口长度和采样频率固定,则t是定值,可求出31组不同矩阵A并与ω0相对应,A矩阵的值以查找表的方式存储在只读存储器ROM中,将31组不同的A和待测量值y相乘,得到31个e值,e为16×1矩阵,求其每一个e的二范数,这些不同二范数分别对应设定在48.5～51.5Hz的31个频率值,求这31个二范数的最小值,其对应的频率值即为待测电力系统频率值。

3.2 重要模块介绍

(1)Control算法实现模块。该模块为整个设计的核心模块,iCLK为该模块的时钟信号,频率为1MHz,iRST为该模块复位端,Y为待测电力信号的输入值,其采样频率为1.6kHz,经Y_ram模块处理之后,Y的数据流频率为1MHz。Y_Addr为地址输出端,F_Addr为对应频率,A_Addr为矩阵A的地址,其地址为0～255,因矩阵A表示的是I-H(HTH)-1HT,系统选取的最高谐波分量是13次谐波,窗口的大小为10ms,所以A为16×16矩阵,每一个A共有256个值,预存在Control模块下的A_rom[11]里形成查找表,如图6所示。Flag为第奇偶个10 ms的标志位,F_Z为所求出的频率的整数部分,F_X为所求出的频率的小数部分。

图6 ROM查找表

图7 Control算法实现模块

(2)Addr地址计数模块。iCLK为该模块工作时钟,频率为1 MHz,iRST为该模块复位端,START为该模块使能端,Y_Addr为地址输出端,F_Addr为对应频率,A_Addr为矩阵A的地址,count为该模块产生的总计数,Flag为第奇偶个10 ms的标志位。该模块实现的主要功能是,按照时序顺序产生了Y_ram模块和Control模块所需的控制信号和控制地址。使得Control模块中所要进行的大量乘法和加法运算能正确进行。其他模块的运行均建立在本模块的基础上,其中每10 ms为一个周期,Flag信号有利于Y_ram模块正确的存取,防止读写冲突。

图8 Addr地址计数模块

(3)Y_ram模块。data为模块的写数据,输入的数据流频率为1.6 kHz,wraddress为模块的写地址,地址变化的频率是1.6 kHz,wrclock为模块的写时钟,频率为1.6 kHz,wren为模块的写使能,rdaddress为模块的读地址,地址变化的频率是1 MHz,rdclock为模块的读时钟,频率为1 MHz,q为模块的读数据,数据流频率为1 MHz。该模块为一个两端口的RAM,一个写端口,一个读端口,用以缓存待测量的数据。

图9 Y_ram模块

3.3 实验演示

实验采用Altera公司生产的CycloneⅢ系列芯片。CycloneⅢ系列芯片是Altera公司首款65 nm低成本FPGA,含有5～120 k个逻辑单元,288个数字信号处理乘法器,存储器达4 Mbit,相比Cyclone III系列,每逻辑单元成本降低了20%[12]。实验采取内部预设数据,预设了4种不同频率的信号输入,通过拨码开关可实现4种不同频率的切换,用数码管显示频率跟踪值,其实验结果如图10所示。

图10 实验演示结果

频率设定为48.5～51.5 Hz,在现实电力系统中,频率在50 Hz附近轻微摆动,满足电力系统频率测量需求,过大的频率设定范围反而加重了计算量,无现实意义。若要提高频率测量的精度,可采取减小频率搜索间隔的方法,如用0.02 Hz、0.01 Hz代替0.1 Hz作为频率搜索间隔,这样的代价就是在较大程度上增大了计算量,且会占用更多的FPGA资源。

4 结束语

利用非线性最小二乘法寻求误差最小值,可快速、准确地对电力系统频率进行跟踪,该算法能较大程度上消除谐波分量对跟踪结果的影响,且具有良好的抗噪性能,该算法复杂度较低,通过对参数的设定,可较好地解决计算量大的问题,并可满足对电力系统频率在线实时跟踪的要求。

[1] 吴广宁,谢恒,马积勋.大型发电机在线监测的自适应数字滤波系统[J].高电压技术,1996,22(4):36-38.

[2] 马静波,杨洪耕.自适应卡尔曼滤波在电力系统短期负荷预测中的应用[J].电网技术,2005,29(1):75-79.

[3] 陈涵,刘会金,李大路,等.可变遗忘因子递推最小二乘法对事变参数测量[J].高电压技术,2008,34(7):1474-1477.

[4] 李振然.利用递推最小二乘算法测量电力系统频率[J].电网技术,1995,19(6):38-44.

[5] Miodrag D,Kusljevic,Josif J.Frequency estimation of three-phase power system using weighted-least-square algorithm and adaptive FIR filtering[J].IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement,2010,59(2):322-329.

[6] 张斌,张东来.电力系统自适应基波提取与频率跟踪算法[J].中国电机工程学报,2011,31(25):81-89.

[7] 王毅非.最小二乘算法的研究与改进[J].继电器,2000,28(3):5-8.

[8] 刘卫国.Matlab程序设计与应用[M].北京:高等教育出版社,2008.

[9] 夏宇闻.Verilog数字系统设计教程[M].北京:北京航空航天大学出版社,2008.

[10]王俊超,王恒亮.基于FPGA的参数可调RS422接口电路设计实现[J].电子科技,2015,28(2):134-138.

[11]刘东华.Altera系列FPGA芯片IP核详解[M].北京:电子工业出版社,2014.

[12]曹志峰,王小华,程欢.基于FPGA+DDS的正弦信号发生器的设计[J].微型机与应用,2012,31(14):90-92.

欢 迎 订 阅 2015 年《电子科技》杂 志

邮 发 代 号 52-246

Nonlinear Least Squares Method of Power System Frequency Tracking

GAO Yinglong,WANG Xiaohua,LU Jin,ZHU Huaiyi

(College of Electrical and Information Engineering,Changsha University of Science and Technology,Changsha 410004,China)

Power system frequency is one of the most important parameters of power quality,the tracking measurement of frequency is the basis of the normal operation,adjustment and control of the electrical power system.The paper proposes a realization of frequency tracking algorithm which is based on the nonlinear least-square method,a detailed simulation has been done for a variety of signal model,and use FPGA to realize the algorithm,the design is completed in the Cyclone III series chip EP3C80F780C8,frequency of using 50 MHz,the results show that the system has the characteristics of simple design,high reliability,good effect of the frequency tracking,etc,It has a good practical value.

frequency tracking;nonlinear least squares;FPGA

2014- 03- 14

高颖龙(1988—),男,硕士研究生。研究方向:信号处理与通信。E-mail:307316818@qq.com。王小华(1966—),男,教授,硕士生导师。研究方向:神经网络,数字信号处理,电力系统谐波分析等。卢进(1990—),男,硕士研究生。研究方向:信号检测与处理,现代电子设计。朱怀毅(1991—),男,硕士研究生。研究方向:信号检测与处理。

10.16180/j.cnki.issn1007-7820.2015.04.010

TM935

A

1007-7820(2015)04-034-04