基于多级维纳滤波器降维的STAP处理算法性能分析

洪成洋，盛骥松

（1.江苏科技大学，镇江212003；2.中国船舶重工集团公司第723研究所，扬州225001）

0 引 言

杂波抑制是机载雷达下视工作时首要解决的问题。空时自适应处理（STAP）能够充分利用空域与时域信息，在对目标信号进行相干积累的同时，通过空时二维滤波滤除地面杂波，从而有效地提高机载雷达检测目标能力［1］。1973年Brennan等人根据最大似然比理论导出了最优滤波器结构。最优滤波器性能优越，但计算量庞大，且难以获得估计协方差矩阵所需的足够样本数，实际工程难以应用。在此背景下，多种降维算法被提出。常见的降维算法有特征干扰相消器、主特征值法、交叉谱法、多级维纳滤波器法等［2］。

主分量法和互谱法均是基于协方差矩阵的特征值分解方法，其运算量较大，在时变信号和在快拍数较少的情况下，所估计的协方差矩阵不准确，会使得特征值和特征矢量的估计存在较大的误差。而且主分量法在降维子空间的维数小于信源数的情况下，性能会大大下降［3］。互谱法虽然允许降维子空间的维数小于信源数，但与性能优良、运算量很小的多级维纳滤波器相比，在快拍数较小时，其降维效果仍然差强人意［4］。下面主要探讨多级维纳滤波器在空时自适应处理中的应用及性能。

1 理论分析

1.1 空时自适应处理

空时自适应处理的实质是一维空域滤波技术在空时二维域中的推广和应用，利用目标和杂波在角度－多普勒域上分布的差异性，通过对能使目标信号增益最大的权值计算，实现杂波的抑制［5］。

假设雷达天线为N阵元的线阵，一个相干处理间隔内的脉冲数为K，则雷达天线接收的某一距离单元的空时采样信号可以用一组N×K维的快拍数据表示，即：

式中：n＝1，2，…，N；k＝1，2，…，K ；xn，k，l为雷达第n个阵元、第k个脉冲、在第l次快拍时的空时二维采样数据。

则全空时二维自适应处理结构即“最优处理器”的原理如图1所示，wnk（n＝1，2，…，N；k＝1，2，…，K）为空时二维权系数。

图1 全空时自适应信号处理原理图

处理过程中，可以按先时后空的顺序将Xl表示为NK×1的矢量，即：

式中：Xn，l＝ ［xn，1，l…xn，k，l…xn，K，l］。

也可以按先空后时的顺序同样表示为NK×1的矢量，即：

式中：Xk，l＝ ［x1，k，l…xn，k，l…xN，k，l］Τ。

同时，用先时后空排列的NK×1维W表示该处理器的权矢量，则：

该处理器可以描述为如下的数学优化问题：

最优空时自适应性能优越，但计算量庞大，且难以获得估计协方差矩阵所需的足够样本数［6］，在实际工程中难以应用。因此需要采用降维算法来进行准最优空时处理，目前比较常用的降维算法是主分量法和多级维纳滤波，下面分别对这2种算法进行理论分析。

1.2 主分量法

主分量法是对观测数据X的协方差矩阵作特征值分解，挑选出与大特征值相对应的特征矢量，构成降维子空间的一个基，然后把观测数据投影到该子空间中，得到降维的观测数据［7］，因为全维空时最优滤波器权矢量为：

对Rx特征值分解后为：

式中：λi，Vi分别为协方差矩阵的特征值和特征向量；N为自由度的总个数。

PC算法是保留r个大的特征值及其特征向量，舍去剩余特征值，式中特征值按从大到小排列，即：

式中：rPC比N小，选择rPC的策略是保留高于噪声基底的特征值。

图2为主分量法的一种常用结构（PC－SD）。

图2 主分量法（PC－SD）结构图

PC－SD算法需考虑目标导量。图中B为一系列与目标空时导量s正交的矢量，则PC－SD的空时导量为：

1.3 多级维纳滤波

多级维纳滤波器（MWF）是维纳滤波器的一种等效多级实现形式，利用一序列的正交投影将输入信号X0（K）多级分解，再进行维纳滤波，综合出维纳滤波器输出误差信号ε0（k）［8］。结构如图3所示。

上面为广义旁瓣相消器架构，下边为多级维纳滤波器结构。X（k）为阵列数据向量，s为方向导量，B0为s的阻塞矩阵，即B0＝0，d0＝sHX（k）。Bi为第i级阻塞矩阵，hi为Xi－1（k）和di－1（k）互相关向量。多级维纳滤波器分前向分解滤波器组和后向综合滤波器组［9］。前向分解是通过依次对前一级观测数据Xi（k）进行正交投影分解得到后一级的观测数据Xi＋1（k）和参考信号di＋1（k），其中Xi（k）为 （N－i）×1维向量，Xi＋1（k）为 （N－i－1）×1向量，即观察数据的维度依次降低1维。后向综合指的是由一组逐级递推的标量维纳滤波器输出和相应的期望信号叠加得到输出误差信号ε0（k）。

图3 无失真响应多级维纳滤波器结构体

现做简略推导：由前向分解可得：

由后向综合可得：

式中：d（k）＝ ［d1（k），d2（k），…，dN（k）］T。

又因为：

所以：

代入ε0（k）＝d0（k）－WHdd（k），求的多级维纳滤波器的等效自适应权矢量为WMWF＝Wx0＝LHWd；从而得到本文所描述的无失真响应多级维纳滤波器（DR－MWF）的权矢量为：

当做r级截断时即降秩多级维纳滤波器。在r级分解处令dr（k）＝εr（k），且上面用r替换N可得：

1.4 降维算法性能比较分析

采用主分量法的协方差矩阵为：

可用特征基向量把协方差矩阵改写为：

而MWF并没有使用特征基向量；而是用Krylov子空间表示：

式中：rxd为输入信号X和期望输出d的互相关矢量；rMWF为空间的秩。

展开rxd可得：

式中：αi为有用信号与特征向量vi的互相关系数；rxd为Krylov子空间的第1个基，第2个为Rx0rxd。

再展开Rx0rxd：

因为特征向量是相互正交的，即：

所以公式（25）可以简化为：

由公式（24）与（25）推导得任意Krylov基矢量可表示为：

从公式（29）发现每个Krylov基矢量都是特征向量的一个加权求和。这与主分量法类似。事实上，当所有的αi＝1，则 MWF降维后的秩等于PCSD降维后的秩。又因为αi≤1，所以MWF的秩总是小于或等于PC－SD。因此在Krylov子空间，如果rMWF＝N，则所有Krylov基都会被保留，即空时滤波器维度为N；而当rMWF＜N时，则Krylov子空间维数可以因为特征值较小或相关性较低而减小。实际上，研究表明存在低功率的干扰环境，因为αi值小，所以更适合用MWF算法降维。此外，MWF算法同样更适用于密集干扰源的环境，因为干扰源紧密相靠会使主特征向量产生较小的特征值，这些特征值给MWF降秩提供了更多选择［10］。

2 仿真分析

设机载相控阵为8×8的平面阵经微波合成的等效线阵，正侧视放置天线。雷达单重频工作，脉冲重复频率为fPRF＝1kHz，载频fc＝1GHz，发射脉冲宽度为0.2μs，雷达工作波长λ＝0.2m，阵元间距d＝λ／2，设定噪声功率为0dB，杂噪比σCNR＝10dB；有效干扰源个数为3，到达方向分别为25.8°、47.2°、－39.0°。并设初始时刻σJNR＝40dB，β＝1，风速设定为10Mph。

图4为方向图对比；图5为MWF与PC－SD性能比较。2种算法法均在杂波和干扰处均形成了较深的凹口，而 MWF的凹口更低，抑制杂波效果更好。

PC－SD在秩选16时达到最小MSE，这意味着PC－SD算法需要16个自适应自由度（ADOF）才能抑制干扰；而MWF仅需要9个ADOF就能达到同样的效果。此外，MWF在维度选择方面更加灵活。如图4所示，MWF的秩取5～17，其性能损失都不超过3dB，这意味着MWF的秩选择5～17均可行。

现保持σCNR不变，改变σJNR，即σJNR从30dB变到50dB。表1、表2显示了2种算法对应的MSE性能。

图4 方向图对比（2fd／fr＝0.5）

图5 MWF与PC－SD性能比较

表1 JNR变化时有效的秩值

由表1数据可见，σJNR从30dB增长到50dB时，PC－SD维度变化不大，而 MWF的维度能自适应改变，且可选维度范围明显小于PC－SD维度。

当保持σJNR为50dB，改变σCNR时，即将σCNR从20dB增大到40dB。

由表2中数据可见，σCNR从20dB增长到40dB，2种算法可选的秩值基本不变，但 MWF的可选维度范围仍明显小于PC－SD算法。

表2 CNR变化时有效的秩值

由实验可推得：MWF结构的空时自适应处理技术能自适应干扰功率的变化而变化，干扰功率越小，滤波器所需的自由度越少；且与主分量法相比，MWF系统运算需要的自由度更少，收敛所需的快拍数更低，更能适应实际复杂多变的环境。

3 结束语

先从理论上论述了STAP降维算法——MWF算法和PC－SD算法，然后从理论上分析比较了两者的性能，接着对2种算法进行数值仿真。理论分析和数值仿真的结果表明：MWF算法相对于PC－SD算法对杂波与干扰的抑制能力强；且不需计算特征向量，系统运算需要的自由度更少，收敛所需的快拍数更低，降维性能更好；并且能够自适应干扰功率的变化而变化。由此可知，MWF在降维性能、算法计算量以及自适应环境等方面具有明显优势。

［1］张良，保铮，廖桂生，等.降维空时自适应处理研究［J］.电子与信息学报，2001，23（3）：261－267.

［2］张永顺，冯为可，赵杰，等.时变加权的机载双基雷达降维空时自适应处理［J］.电波科学学报，2015，30（1）：194－200.

［3］罗熹，李宏，姜嘉琳，等.基于GSC框架降秩自适应滤波算法研究［J］.电子设计工程，2013，21（5）：61－64.

［4］黄磊，袁伟明，张林让，等.基于多级维纳滤波器降维技术的波达方向估计［J］.西安电子科技大学学报（自然科学版），2004，31（6）：865－869.

［5］王万林，廖桂生.机载预警雷达三维空时自适应处理及其降维研究［J］.系统工程与电子技术，2005，27（3）：431－434.

［6］文小琴，韩崇昭.实测数据的降秩空时自适应处理方法［J］.电子对抗技术，2005，20（4）：31－35.

［7］李月，马海涛，林红波，等.基于核函数主分量的维纳滤波方 法 研 究 ［J］.地 球 物 理 学 报，2010，53（5）：1226－1233.

［8］丁前军，王永良，张永顺，等.自适应阵列中多级维纳滤波器的有效实现算法［J］.电子与信息学报，2006，28（5）：936－940.

［9］丁前军，王永良，张永顺，等.一种多级维纳滤波器的快速实现算法——迭代相关相减算法［J］.通信学报，2005，26（12）：1－7.

［10］黄庆东，卢光跃，庞胜利，等.基于多级维纳滤波器的树型WSN分布式线性约束最小方差波束形成方法［J］.南京航空航天大学学报，2015，47（1）：52－58.