追寻自然的数学教学

焦肖燕

一、数学是自然的

何谓数学？培根认为“数学是打开科学大门的钥匙”，黑格尔认为“数学是上帝描述自然的符号”，而最为人们耳熟能详和广泛认同的是恩格斯关于“数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的科学”的论断。从数学发展历史来看，虽然不同时期对数学的理解不断变化，但从每位名人名家的诠释中都能看到数学的自然力量。数学是将大自然中存在的各种规律，用数字与公式的形态表示出来。例如：为了方便对自然界中事物数量的统计才产生了自然数；随着时代的发展，人们发现很多事物不能用自然数计量时，就出现了分数、小数、负数等；为了方便研究自然界中物体的特性，就产生了各种几何图形；为了揭示自然界中各种事物的普遍规律，数学家们得出了很多定义、定理、推论等。再例如，为了求解自然界中很多未知事物，人们往往通过建立数学模型来解决这些问题……类似的例子举不胜举，可见数学的产生是自然的，是对自然规律的一种客观反映；数学本身是自然的，在自然的前提条件下得到自然的结论；数学探究过程是自然的，是一种遵循逻辑顺序的自然推进过程。数学和历史一样都只是生物的活动在自然界留下的印记，数学是一门源于自然、依赖自然界客观存在的规律而发展形成的学科。

二、数学教学也是自然的

数学是自然的，数学教学也应该是自然的，是水到渠成的。记得人教版高中《数学》教材主编刘绍学先生在《主编寄语》中有这样一段话：“教科书中出现的数学内容，是人类长期实践中经过千锤百炼的数学精华和基础，其中的数学概念、数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的。如果有人感到某个概念不自然，是强加于人的，那么只要想一下它的背景、它的形成过程、它的应用以及它与其他概念的联系，你就会发现，它实际上是水到渠成、浑然天成的产物，不仅合情合理，甚至很有人情味，这将有助于大家学习。”因此，学生的数学学习过程实际上是对自然的数学知识“再创造”的过程。教师应该遵循数学知识的发生发展规律，使学生能大致经历数学家获得数学发现时的思维过程，为学生的“再创造”创造条件。另外，由于人类本身也是自然界的产物和存在物，其包括数学在内的整个科学思维方式和规则也是在长期改造自然现实的漫长活动中形成的。所以对于学生来说，自然是他们的天性，学生并不是空着脑袋走进教室，日常生活和以往的学习经验已经使他们具备了丰富的经验背景。在教学中，教师要顺着学生的思维自然地提出问题、分析问题和解决问题。在教给学生知识之前，教师首先要了解学生的知识结构中已经有了什么，他们的知识基础如何，在此基础上确定学生的“最近发展区”，那种无视学生知识基础的教学是对学生最大的不尊重。教学只有关注到学生的内在需求，才能让他们积极主动地投入学习，从而在一种自然的、主动的状态下完成“再创造”的过程。

三、实现自然数学教学的策略：顺木之天，以致其性

如何追寻自然的小学数学教学呢？一句话概括，那就是顺木之天，以致其性。顺应知识发生发展的自然规律，尊重学生的原有知识基础和身心特点，做到贴着学生的思维脉搏进行教学，学生的智慧和天性才能得以自然地成长。下面笔者结合自己的教学实践谈谈对“追寻自然数学教学”的一些思考。

1.认识、把握和顺应知识本身的发展规律

（1）在追溯中感受知识的自然原型。每一个新的概念、方法、公式、定理的产生，都源于一定的需要，这种需要的前提和背景就是数学知识的本源。在教学中，教师要让学生了解数学知识产生的背景和发展过程，知道其来龙去脉，也就把握了知识本源和数学思想方法。比如，儿童对自然数概念的理解和认识就与人类对自然数概念的认识走过了几乎相同的道路，如果教师能够让学生体验自然数概念的形成和发展过程，就能更好地帮助学生理解自然数。像十进制计数法和十进位值制，就是两个不同的概念。因为人一共有10个手指，所以产生十进制并不为奇，但十进制计数法到十进位值制却走过了一段漫长的路。位值制的发明是计数历史上的一个划时代的奇迹，正是有了位值制，人们才可以用有限的几个数字表示出无限多个自然数，因此马克思在他的《数学手稿》中称十进位值制为“最奇妙的发明之一”。如果教师了解这段历史，知道人类发明十进位值制的艰辛和不易，就能知道“位值”对于学生来说是非常抽象的，并且在自然数的认识中是相当重要的。教学中教师切忌不能一带而过，而是要根据学生已有的生活经验，充分利用直观的计数材料，像数位筒、计数器或者算盘等，设计有趣的数学活动来使学生深刻理解“位值”的概念，感受这一计数方法的优越性。

（2）在抽象中经历知识形成的自然过程。数学概念是反映一类事物在数量关系和空间形式上的本质属性的思维方式，如果生硬地灌输给学生，而不让学生经历抽象概括的过程，那么，在学生的头脑中，这些数学概念只是一种形式上的符号，而缺乏现实意义。对于整数，学生并不感到陌生，在入学之前，学生已对具体的数有了比较丰富的感知，他们会读、会写、会说一些具体的数。但这时学生头脑中的数还是与具体的事物联系在一起的，比如2个人、3个玩具等。在教学中我们要关注从现实情景抽象出数的过程，例如，从具体的2匹马、2棵树、2头牛、2个人，抽象出“2”这个数，这时用一个数字也是一个特殊的符号来表示数量，已经把具体的单位和这个数量的具体含义去掉，抽象为数“2”了。反过来， “2”也可以表示任何具有这样数量特征的事物。

（3）在多元表征中丰富知识的自然形态。一个数学概念或者数学问题，往往可以通过多元的形式来表征它。不同的表征形式是为了对概念或者问题进行不同的解释，即从不同的角度、不同的视角对其本质进行视觉化或体验化的阐述，使学生获得更深刻的体验，从而达到对数学本质的感悟。其中，每一种表征形式都是基于信息本质的基础上，经过信息系统的加工处理生成的，使信息及其相关联的表征一起形成了一个表征系统。所以不同形式的表征不仅丰富了知识的内涵和外延，而且每种表征形式之间相互补充、相互完善。比如：学生在学习万以内数的认识时，可以通过几何图形的点、线、面、体，使学生在头脑中建立“一、十、百、千”的几何模型。通过图像表征，让学生体会10 个一是十，10 个十是一百，10 个一百是一千，10 个一千是一万……从而在学生的头脑中建立一个清晰的模型——“满十进一”，这对于学生理解计数单位和位值制有很大帮助。

（4）在整体把握中沟通知识的自然联系。数学知识具有很强的系统性，前一个概念也许是后一个概念的基础，而后一个概念也可能是前一个概念的发展。这种纵向关系，沟通了前后概念，形成了一个概念系统。像自然数、分数、小数，它们都有着千丝万缕的联系：当使用的度量单位能够顺利测量时，就看累加了多少个度量单位，那么测量结果就可以用自然数来表示，反之当度量单位太大，不能顺利测量时，就需要将度量单位平均分成n份，以其中的1/n为单位，数出m个单位，则测量结果可以用m/n这样的分数来表示，当n=10，100，1000……这个量的大小就用十进分数也就是小数来表示。所以教学中教师是否能够对所教内容的本质与其长远教育价值进行深入细致的分析，就决定了我们数学课的高度和厚度。

2.认识、把握和顺应学生自身的认知规律

（1）要基于学生已有的经验基础进行教学。数学教学的对象是学生，影响学生学习最重要的因素是学生已经知道了什么。因此，在教学中教师要基于学生原有的数学认知结构，要在学生的“最近发展区”展开教学。比如：五年级“小数的意义”教学，之前学生在三年级已通过人民币单位和米制单位的转化，从数和量两个方面初步感知了一位小数，感受到了小数与生活的联系。因此到五年级继续学习小数时，完全可以应用概念的同化方式，从数学本身的逻辑关系展开教学，从学生已有的一位小数的学习经验类推出两位小数、三位小数……从而抽象概括出小数的意义。心理学家认为：概念可以从大量的同类事物的不同例证中独立发现，这种概念的获得方式叫概念的形成。也可以用定义的方式向学生直接展示，学生利用已有认知结构中的有关知识来理解新概念，这种概念的获得方式就是概念的同化。教师运用哪种方式进行教学才是最有效的，关键取决于学生已有的知识经验，只有基于学生已有知识经验的教学才能使学生学得主动、学得积极。

（2）要基于学生身心发展规律进行教学。苏霍姆林斯基曾说过：在人的心灵深处都有一种根深蒂固的需要，那就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者，在儿童的精神世界里这种需要特别强烈。因此，教师应创设情境，提供指导，让学生带着问题，在愉悦的氛围中进行有效的自主探索，以自然、人本的方式展开学习。例如，在教学苏教版三年级《数学》下册 “24时计时法”时，教师可以创设这样的问题情景：“一天有24小时，但钟面上只有12个数字，怎样用这12个数字来表示一天中的24个时刻呢？”或者创设这样的问题情景：“小明九时在上课，小红九时却在睡觉，同样是九时，怎么一个在上课一个在睡觉呢？”通过创设问题情境，激发学生的好奇心和求知欲，让学生带着问题，在矛盾冲突中展开学习。

总之，自然的数学教学就是要追寻知识的本源，沟通知识的联系，做到教师自然地教；了解学生发展的局限性和潜在的可能性，顺应学生身心发展的规律和已有的经验基础，做到学生自然地学；在和谐、自然的状态下让师生共同享受教与学的乐趣。