仿射非线性广义系统的保性能控制①

马合保， 赵利彬（闽江学院数学系，福建 福州 350108）

仿射非线性广义系统的保性能控制①

马合保， 赵利彬
（闽江学院数学系，福建 福州 350108）

研究仿射非线性广义系统的保性能控制问题.利用单位分解方法将仿射非线性广义系统表示为具有模型误差的有线性特征的广义系统，基于广义Lyapunov函数，给出仿射非线性广义系统的状态反馈保性能控制律的一种设计方法.

非线性广义系统；保性能控制；单位分解；状态反馈

0　引言

在控制理论中，线性系统的研究相对深入和成熟，而非线性系统中仍有许多问题尚未解决.利用有效的近似方法把非线性系统转化成有线性特征的系统，是处理非线性系统的分析与综合问题的一条可行途径.保性能控制是Chang和Peng于1972年提出的，其基本思想是对于受控系统设计一个控制律，使得闭环系统稳定，且性能指标不超过给定的性能上界.文献［1］利用单位分解方法把仿射非线性系统转化为具有模型误差的有线性特征的系统，研究了仿射非线性系统的保性能控制问题.非线性广义系统在实际问题中有着广泛的应用，由于非线性广义系统结构的复杂性，迄今非线性广义系统的研究成果相对较少.本文将文献［1］的方法应用于仿射非线性广义系统，给出仿射非线性广义系统的保性能控制律的一种设计方法.

1　问题描述与预备知识

考虑如下可解的仿射非线性广义系统

性能指标为

其中Q＞0，R＞0.

定义：对于系统（1）和性能指标（2），如果存在一个控制律u（t）和一个正数J*，使得在控制律u（t）作用下系统（1）相应的闭环系统渐近稳定，且性能指标J≤J*，则称J*为系统（1）的一个性能上界，u（t）为系统（1）的一个保性能控制律.

引理1［2］： 对连续函数h1（x），x∈X，任意εi＞0，i=1，2，…，r，存在一个X上的单位分解｛σj| j=1，2，…，q｝从属于开覆盖个实数，使得

引理2： 对任意的n维向量ζ，η∈Rn，任意δ＞0，有

证明：由

即可得所证不等式.

引理3［3］： R为正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵D，满足R=DTD.

系统（1）的无控制（即u（t）≡0）系统为

引理4［4］： 设函数V（Ex（t））：［0，+∞）→［0，+∞）连续可微，满足

3）V（Ex（t））沿系统（3）的状态轨迹对的导数

其中α1，α2和α3为类函数，则系统（3）的平衡状态x=0一致渐近稳定.

3　主要结果

系统（1）可表示为［9］

其中eij（x），珋eil（x）是近似误差

应用（5）式，有

结合上式和（6）式得

定理： 对于系统（4）和性能指标（2），如果存在正定矩阵P和矩阵Kα（α=1，2，…，N），标量δ ＞0珋δ＞0，使得

则状态反馈控制律

是系统（4）的一个保性能控制律，相应的一个性能上界J*=xT（0）ETPEx（0）.

证明： 在状态反馈控制律（7）作用下，系统（4）相应的闭环系统为

构造广义 Lyapunov函数 V（Ex（t）） = xTETPEx，沿系统（8）的状态轨迹求V（Ex（t））对t的导数，得

由假设和引理2，对δ，珋δ＞0，可得

其中λmin（Q）＞0表示正定矩阵Q的最小特征值.

由引理4知，闭环系统（8）渐近稳定.

由上面的证明知，

利用引理2和引理3，可得

结合（9）式和（10）式，得

上式两端积分

于是，有

由定义，状态反馈控制律（7）是系统（4）的一个保性能控制律，且性能上界

［1］Han D F，Shi L.Guaranteed Cost Control of Affine Nonlinear Systems via Partition of Unity Method［J］.Automatica，2013， 49（2）：660-666.

［2］Wang Y H，Han D F.Variable Structure Control for a Class of Nonlinear Systems Based on Partition of Unity［J］.Control and Decision，2006，21（8）：853-856.

［3］韩京清，何关钰，许可康.线性系统理论代数基础［M］.沈阳：辽宁科学技术出版社，1985.

［4］Wu H S，Mizukami K.Lyapunov Stability Theory and Robust Control of Uncertain Descriptor Systems［J］.Int.J.Systems Science，1995，26（10）：1981-1991.

［5］Khalil H K.Nonlinear systems［M］.3rd ed.Upper Saddle River，NJ：Prentice Hall，2002.

Guaranteed Cost Control for Affine Nonlinear Descriptor Systems

MA He-bao， ZHAO Li-bin
（Department of Mathematics，Minjiang University.Fuzhou，350108，China）

This paper is concerned with the problem of guaranteed cost control for affine nonlinear descriptor systems.Using partition of unity method，the affine nonlinear descriptor system is represented as a linearlike descriptor system with modeling error.In terms of generalized Lyapunov functions，the design method of desired state feedback guaranteed cost control laws of the considered systems is provided.

nonlinear descriptor systems；guaranteed cost control；partition of unity；state feedback

O231

A

1008-1402（2015）06-0827-03

2015-10-21

马合保（1963-），男，河南安阳人，闽江学院数学系副教授.