工作时间的一种数学模型

陈国松

摘 要： 工作时间问题是经济现象中的常见问题，也是经济学中的基本问题.本文从个人劳动者时间供给关系中提出问题，用非线性规划知识建立数学模型，描述了工作时间和工作意愿或劳动报酬的一些关系.

关键词： 人年 工作时间 非线性规划

一、问题的提出

设一个人在一年中总可用时间为1人年，由于每天至少有8小时用于睡觉与吃饭，因此闲暇的最低需要量为1/3人年.设该人拥有H人年闲暇时得到的满意度为

U（x■，x■，…，x■，H）=A（x■-c■）■（x■-c■）■…（x■-c■）■（H-■）■，这里，x■，x■，…，x■表示n种商品的需求量，c■cx■，…，c■表示对n种商品的最低需要量，A>0，h>0，a■>0（i=1，2，…，n）为常数.问该人每年愿工作多少时间？

二、问题的分析

设该人每周工作5天，每天工作8小时的年薪为W元，则■×■=■人年可赚W元，故1人年的收入为■W=4.2元.如果某人的闲暇为H人年，则当年薪为W元时其收入为4.2W（1-H），其全部收入拥有购买n种消费品.

三、模型的建立

设该人对n种商品的购买量为x■，x■，…，x■，相应的价格为p■，p■，…，p■，由上面的分析可知：

px■+px■+…+px■=4.2W（1-H）（1）

即px■+px■+…+px■+4.2WH=4.2W

于是该问题的数学模型为在（1）式的约束下求U（x■，x■，…，x■，H），以使效用U最大，即

maxU=A（x■-c■）■（x■-c■）■…（x■-c■）■（H-■）■（2）

满足px■+px■+…+px■+4.2WH=4.2W

四、模型的求解

上述非线性规划模型实际上是一个带约束的多元函数的极值问题，因此可用拉格朗日乘数法求解.

令L（x■，x■，…，x■，H，λ）=A（x■-c■）■（x■-c■）■…（x■-c■）■（H-■）■+λ（px■+px■+…+px■+4.2WH-4.2W）（3）

记U（x）=A（x■-c■）■（x■-c■）■…（x■-c■）■（H-■）■

■=0 a■U（x）=-λp■（x■-c■），i=1，…，n

-■=■（4）

■=0，■U（x）+λ4.2W=0

-■=■（5）

由（4）和（5）式联立得：

H=■+■（1-■）（6）

上式表明，要使U≥■（即保证睡眠及吃饭时间），则■p■c■≤2.8W，即基本生活保障开支最多不应超过2.8W，否则该人为求生存，一定会导致睡眠不足.

所以由（6）式可得该人的工作时间为

L=1-H=■-■（1-■）（7）

可知，当4.2W=p■c■+…+p■c■+1.4W时，工作时间为L=■人年，而当工资W逐渐升高时，人们希望拥有更多的闲暇时间，特别地，如W很大（趋向无穷大），则

H=■+■■（8）

L=■（1-■）（9）

由（8）式可知，如果人们更希望拥有闲暇，则h相对较大，而人们愿意工作的时间则较少.

五、模型的评价

上述模型是在一定的效用函数形式假定下的工作时间选择，因此其结果会受到效用函数的影响.从结果分析来看，它揭示了市场机制下劳动供给函数的一种数学表示，合理地解释了低收入者为生存而付出的工作时间.但在实际生活中，工资W越高，人民愿意提供的劳动时间往往越来越长，只有当高到一定程度之后，提供劳动的时间才随W的上升而下降.而（7）式表明工资上升，愿意提供的劳动时间却在下降，这与事实不完全相符.其主要原因在于效用函数没有体现消费者的心理反应.由于随着W的上升，人们对产品、闲暇的偏好会因之改变，因此要更好地建立工作时间与闲暇时间的选择模型，还需要进一步改进效用函数，当然计算也一定会相应复杂许多.

参考文献：

[1]孟续铎，杨河清.工作时间的演变模型及当代特征[J].经济与管理研究，2012.

[2]马秀颖，王志涛，杨雪娇.农民工日均劳动时间及其影响因素研究[J].调研世界，2013.

[3]张从军等.经济应用模型[M].上海：复旦大学出版社，2008（10）.