破茧成蝶

潘霞

课本的习题是整个教材的重要组成部分，是经过专家们精心挑选的，具有针对性、基础性和代表性.近年来，各地的中考数学试题蕴藏着习题影子，这对我们的数学学习起到了很好的导向作用.大家可以对习题进行充分探究，挖掘习题的潜在价值，通过少量习题的练习总结出解决一类题型的方法，提炼出解题策略和思想方法，从而启发思维，提高解题能力.本文以书中一道习题为例，看看它是怎样慢慢蜕变成一道中考题的.

一、 原题（苏科版教材九下第86页习题6.7）

如图，某一时刻，旗杆AB的影子一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙上.设旗杆AB在地面上的影长BC为20 m，墙面上的影长CD为4 m.同一时刻，竖立于地面长1 m的标杆的影长为0.8 m，求旗杆的高度.

【分析】这是一个实际问题，首先要将问题中的立体图形转化成平面图形，旗杆看成线段AB，落在地上的影子看成线段BC，落在墙上的影子看成线段CD，太阳光线为AD，则本题转化成四边形ABCD.我们知道，在平行光线的照射下，在同一时刻，不同物体的物高与影长成比例.利用“平行投影的性质”，我们可以解决一些实际问题.但是此题多了一堵墙，使得旗杆的影子部分落在墙上，“平行投影的性质”不能直接应用，我们可以转化成没有墙的情况，让旗杆影子全部落在地上，再利用平行投影的性质，问题便得以解决.如果没有墙壁，影子会落在哪儿？我们尝试着让旗杆的影子“穿过”墙壁，作出图形.

方法一：如图1，分别延长AD、BC，相交于点E，根据题意，得： = ，

∴CE=0.8×4=3.2（m），

∴BE=BC+CE=20+3.2=23.2（m）.

由△ECD∽△EBA，得 = ，

∴AB= =29（m）.（也可以再次利用“平行投影的性质”求出AB的长度）

【分析】当然我们也可以先求出影子BC所对应的旗杆长度，再利用平行四边形的性质得到剩余部分旗杆长，那么两者之和即为旗杆高度.

方法二：过点C作CF∥DA，交AB于点F.

方法三：过点D作DG⊥AB，垂足为点G.（同学们可以自己完成解题过程）

【点评】三种方法有个共同点，都是想方设法往平行投影的基本图形上转化，要么根据物高找影长，要么根据影长求物高.

二、 蜕皮成蛹

变式：如果旗杆AB的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图2，此时测得地面上影长BC为16 m，坡面上的影长CD为4 m，已知斜坡与地面的夹角为45°，同一时刻，一根长为1 m的标杆影长为0.8 m，求旗杆的高度.

【分析】影子落在墙上的情况我们已经会处理，落在坡上又该如何解呢？这道题目与我们的习题之间又可以进行怎样的转化呢？试想：如果我们能将落在斜坡的影子转化成竖直的影子，那么问题便迎刃而解.沿着这个思路，我们将落在斜坡的影子CD放在等腰直角△CDE中，转化成DE（如图3），相当于影子落在了墙上，巧妙地与习题产生了联系.

解：如图4，过点D作DE⊥BC，与BC的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AB，

由题意易知Rt△AFD，等腰直角△CED，∠DCE=45°，DF=BE，BF=DE.

在Rt△CED中，设CE=x，则DE=x，

则根据勾股定理得：CE=DE=4（m），

∴FD=BE=BC+CE=16+4=20（m）.

由“平行投影的性质”得：

= ，即 = ，

∴AF= =25（m），

∴AB=AF+FB=25+4=29（m）.

【点评】巧妙地利用转化思想，将复杂问题转化成简单问题，未知问题转化成已知问题.

【试一试】如果我们把斜坡与地面的夹角为45°改成斜坡与地面的夹角为30°，聪明的同学，你能算出旗杆的高度吗？

（参考答案：20+ +2 （m））

三、 破茧成蝶

（2015·浙江湖州模拟）如图5，坡面CD的坡比（即坡面的垂直高度和水平高度之比）为1∶ ，坡顶的平地BC上有一棵小树AB，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得小树在坡顶平地上的树影BC=3米，斜坡上的树影CD= 米，则小树AB的高是________.

【分析】根据题设条件，画出与实际图形相似的平面图形，如图6，类似于变式，遇到不能解决的问题时，我们总尝试着将其与已经解决的问题建立联系，利用“平行投影的性质”解决问题，要么根据物高找影长，要么根据影长求物高.在太阳光的照射下，小树AB的顶端点A的影子落在点D处，画出全部影长DF，DF对应的物高应该有AF那么高，再算出BF即CE的长，小树的高度便可求出.

解：如图7，由题意易知

Rt△AFD，Rt△CED，∠ADF=60°，FE=BC=3（米），BF=CE.

在Rt△CED中，设CE=x，

由坡面CD的坡比为1∶ ，得：

DE= x，

由勾股定理得：CE= （米），则DE= （米），∴FD=FE+ED=3+ = （米）.

在Rt△AFD中，∠ADF=60°，

则∠A=30°，∴AD=9（米），

根据勾股定理：AF= （米），

∴AB=4 （米）.

（你还有其它解法吗？）

【点评】解决此类问题，首先通过理解题意，画出符合题意的平面图形，求树高要找影长，但找影长并不是简单的影长叠加，而应把影子转化到同一平面，转化后借助勾股定理或特殊三角形求出影长，再利用“平行投影的性质”求出相应的物高.

四、 翩翩起舞

不知道同学们读完前面内容后有没有受到启发，接下来看你们的！

数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高.课外活动时他们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影子是0.9米，但当他们马上测量树高时，发现树的影子不落在地面上，有一部分影子落在教学楼的台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处.同学们认为继续量也可以求出树高，他们测得落在地面的影长为1.1米，台阶总的高度为1.0米，台阶水平总宽度为1.6米（每级台阶的宽度相同）.则树高为________米.（假设两次测量时太阳光线是平行的）

（参考答案：4米）

我们的思维成长犹如破茧成蝶，是一个漫长的蜕变过程，本文只是举了一个微不足道的例子，只想用来引发同学们的思考，希望同学们能有所启发，多对习题进行深度思考、挖掘，在做习题时要不断总结，善于找到问题的共性，提炼出一类问题的解法，长此以往，思维成长，解题能力将会大大提高，面对复杂的问题便胸有成竹，犹如破茧后的蝴蝶翩翩起舞.

（作者单位：江苏省常州市金坛区白塔中学）