例析概率问题中的数学思想

马洪亮

近年来，概率问题的考查，在注重基本知识考查的基础上也注重渗透数学思想，今天我们一起来看看概率与哪些数学思想有了碰撞.

一、 函数与方程思想

例1 已知一个不透明的口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，x个黑球.

（1） 若向袋中再放入y个白球后，从中随机取出一个球是白球的概率为 ，求y与x之间的函数关系；

（2） 在（1）的基础上，若往袋中再放入4个黑球，则从袋中随机取出一个球是白球的概率变为 ，求x与y的值.

【分析】问题（1）中的概率明确了，但球的个数不确定.当概率一定时，白球的数量将随着黑球数量的变化而变化，利用概率的计算公式P（白球）=白球数量÷球的总数量便可建立函数关系.问题（2）中再次利用概率的计算公式建立一个y与x的函数关系式，与（1）中的函数关系式组成方程组可求得x与y的值.

解：（1） 由题意得：

P（白球）= = ，

整理得：y= x-3；

（2） 由题意得：P（白球）= = ，

整理得：y= x- ，

由y= x-3，y= x- ， 得x=8，y=1.

【点评】利用概率计算的公式构造函数建立等量关系，列出方程或方程组，再通过解方程或方程组使问题获得解决.

二、 转化思想

例2 已知ai≠0（i=1，2，…，2016）满足 + + +…+ + =1968，使直线y=aix+i（i=1，2，…，2016）的图像经过一、二、四象限的ai概率是________.

【分析】欲使直线y=aix+i的图像经过一、二、四象限，因i>0，图像必过一、二象限，因此须使ai<0.另一方面，条件的等式左边每一项的值为1或-1，共2016项，但结果为1968，因此其中必有（2016-1968）÷2=24（个）负数.这样，问题可转化为：在2016个非0实数中有24个负数，从中随机取出一个数是负数的概率是多少？

解：∵ai≠0（i=1，2，…，2016）满足 + + +…+ + =1968，

∴ai中有（2016-1968）÷2=24（个）是负数，有2016-24=1992（个）是正数，

∵ai<0时直线y=aix+i（i=1，2，…，2016）的图像经过一、二、四象限，

∴使直线y=aix+i（i=1，2，…，2016）的图像经过一、二、四象限的ai概率是 = ， 故答案为： .

三、 分类讨论思想

例3 袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是（ ）.

A. B. C. D.

【分析】首先设摸出的15个球中有x个红球、y个黑球、z个白球，则x，y，z都是正整数，且x≤5，y≤6，z≤7，x+y+z=15.因为y+z≤13，所以x可取值为2，3，4，5.然后对x的取值进行分类讨论，便可得出所有可能的摸球结果，再看其中恰好有3个红球的结果有几种，最后由概率公式即可求得答案.

解：设摸出的15个球中有x个红球、y个黑球、z个白球，则x，y，z都是正整数，且x≤5，y≤6，z≤7，x+y+z=15.

∵y+z≤13，

∴x可取值为2，3，4，5.

当x=2时，只有一种可能，即y=6，z=7；

当x=3时，y+z=12，有两种可能，y=5，z=7或y=6，z=6；

当x=4时，y+z=11，有3种可能，y=4，z=7或y=5，z=6或y=6，z=5；

当x=5时，y+z=10，有4种可能，y=3，z=7或y=4，z=6或y=5，z=5或y=6，z=4.

∴共有1+2+3+4=10（种）可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种，

∴所求的概率为： = . 故选B.

四、 数形结合思想

例4 六个面上分别标有1，1，2，3，3，5六个数字的均匀立方体的表面展开图如图1所示，掷这个立方体一次，记朝上一面的数字为平面直角坐标系中某个点的横坐标，朝下一面的数为该点的纵坐标.按照这样的规定，每掷一次该小立方体，就得到平面内一个点的坐标.已知小明前两次掷得的两个点确定一条直线l，且这条直线经过点P（4，7），那么他第三次掷得的点也在直线l上的概率是（ ）.

A. B. C. D.

【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数.二者的比值就是其发生的概率的大小. 对本题来说，全部情况的总数容易求得，但符合条件的点的个数较难得到. 如果根据小明前两次掷得的两个点确定一条直线，求得其解析式，再将点（4，7）代入判断，这样的计算量将非常大，但如果将这些点在平面直角坐标系中描出，通过观察便可看出哪些点所确定的直线经过点（4，7）.

解：由题意知：每掷一次可能得到6个点的坐标是（其中有两个点是重合的）： （1，1），（1，1），（2，3），（3，2），（3，5），（5，3）， 将这几个点和点P（4，7）在平面直角坐标系中描出（如图2），通过观察可以发现，经过（1，1），（2，3），（3，5）三点中的任意两点所确定的直线都经过点P（4，7）， 因点（1，1）包含两种情况，所以符合条件的点有4个，所以小明第三次掷得的点也在直线上的概率是 = . 故选A.

【点评】本题通过描点画图将数的问题与图形相结合，使问题的解决变得简单.数形结合就是抓住数与形之间在本质上的联系，以“形”直观地表达“数”，形象地反应问题的属性，是一种非常重要的数学思想.

（作者单位：江苏省宝应县实验初级中学）