“等可能条件下的概率”错题归因

徐永军

概率问题在每年中考中都占有不可忽略的地位，但是不少同学在计算概率时常会犯一些错误，导致失分，令人痛心.下面就同学们在概率问题中出现的一些常见错误举例加以分析.

易错点1 对等可能性理解不透彻

例1 判断下列各试验的结果哪些具有等可能性.

（1） 抛掷一枚均匀的正方体骰子，面朝上的点数是奇数与面朝上的点数是偶数的结果；

（2） 抛掷一颗图钉，顶尖朝上朝下的结果；

（3） 一只不透明的袋中装有3个红球和5个蓝球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，出现红球和蓝球的结果.

【错解】（1）（2）（3）的实验结果都具有等可能性.

【正解】（1）的实验结果具有等可能性，（2）（3）两个实验结果不具有等可能性.

【错解辨析】抛掷一枚均匀的正方体骰子，面朝上的点数是奇数和偶数各有3种等可能的结果，所以试验（1）的结果具有等可能性.因为图钉不均匀，在抛掷中钉尖朝上朝下的机会不均等，所以试验（2）的结果不具有等可能性.错解认为抛掷的图钉只有钉尖朝上或朝下两种结果，所以试验的结果具有等可能性.从一只装有3个红球和5个蓝球的袋子中任意摸出一个球有8种等可能的结果，而从中摸出红球和蓝球的结果出现的机会不均等，所以这个试验的结果不具有等可能性.错解认为袋中有两种颜色的球，所以摸到每种颜色的球的机会是均等的，所以这个试验的结果具有等可能性.

易错点2 求概率时忽略等可能的条件

例2 已知甲袋中有2个红球，1个白球，乙袋中有1个红球，1个白球，从甲、乙两袋中各摸出一个球，摸出的两个球都是红球的概率是多少？（两种球只有颜色不同）

【错解】用树状图列出所有可能的结果如图1-1所示.从树状图可以看出一共有4种等可能的结果，其中两个球都是红球的结果有1种，所以摸出的两个球都是红球的概率为 .

【正解】分别用白、红1、红2表示甲袋中的3个球，用树状图列出所有可能的结果如图1-2所示，从树状图可以看出一共有6种等可能的结果，其中两个球都是红球的结果有2种，所以摸出的两个球都是红球的概率为 = .

【错解辨析】甲袋中有2个红球，1个白球，故摸出红球和白球的可能性不相同.错解认为只有两种颜色的球，摸出红球和白球的可能性相同，从而造成解题错误.应将甲袋中的两个红球编号，编号为红1，红2，这样摸出白球、红球1、红球2才是等可能的.利用表格或树状图求概率直观形象，但是有时由于考虑问题不全面，常会出现遗漏，造成解题错误，因此在列表或画树状图时，一定要全面考虑，将所有可能出现的结果都列出来，做到不重不漏.

易错点3 审题不清

例3 不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为 .

（1） 试求袋中蓝球的个数；

（2） 第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图或列表法，求两次摸到的球都是白球的概率.

【错解】（1） 设蓝球有x个，

由题意得 = ，解之得x=1.

经检验，x=1是原方程的解，所以蓝球有1个.

（2） 画树状图如图2-1所示.

故两次摸到的球都是白球的概率= = .

【正解】（1） 设蓝球有x个，

由题意得 = ，解之得x=1.

经检验，x=1是原方程的解，所以蓝球有1个.

（2） 画树状图如图2-2所示.

故两次摸到的球都是白球的概率= = .

【错解辨析】题目中明确要求“第一次任意摸一球（不放回）”就意味着第二次不可能摸到第一次已摸出的球.所以认真审题是解题的关键，忽略任意一个小的细节都会带来整个题目的错解.

易错点4 不能正确理解几何概型

例4 如图3所示是一个可以自由转动的均匀转盘，转盘被等分成4个扇形，转动转盘，计算转盘停止后指针指向红色区域的概率.（若指针指向分界线则重转）

【错解】由题意可知，红色区域占一份，黄、白、绿色区域共占三份，所以P（指针指向红色区域）= .

【正解】转盘被等分成4个扇形，其中红色扇形有1个，因为转盘停止后指针指向每个扇形的可能性都相同，所以P（指针指向红色区域）= .

【错解辨析】错解的原因是把几何概型的意义理解成事件发生所占面积与所剩面积的比值.只有正确理解几何概型的意义，才能正确利用几何度量求概率.有时由于对几何概型理解不透彻，易出现用某一事件发生所占线段的长度或图形的面积与所剩长度或面积的比来求概率，从而造成解题错误.

（作者单位：江苏省宝应县实验初级中学）