算理怎么教？

俞正强，浙江省小学数学特级教师，北京师范大学教育家书院兼职研究员，浙江师范大学硕士生导师，浙江省金师附小校长。

“同分母分数加减法”这一课时，十分有意义，适合说明算理与算法之间的关系。

算理： + ，1个 加3个 是4个 ，

写作 。算理，可以解决计算的“对”的问题;算法： + =  = ，分母不变，分子相加。算法，可以解决计算的“快”的问题。所以，算法是对算理的熟能生巧。

计算，总离不开“又对又快”这两个要求。当算理与算法放在一起时，算理会解决“对”的问题，“算法”会实现“快”的需要。当算律与算法放在一起时，算法会解决“对”的问题，算律会实现“快”的需要。

回到“同分母分数加减法”这一课例中，因为算法是算理的熟能生巧，所以在此一课例中，算法可以顺势而为之，算理却须精耕细做。

讨论一：教材上算理呈现的问题

在教材中，“同分母分数加减法”的算理还是套用生活原型，即画图法，为： + = 。

在成人看来，这个过程显然是正确无误的，但在学生看来，问题可就大了。

在学生看来，两个圆放在一起时，一定会填 。这种情况，部分学生可以延续至六年级，更何况学生在学习同分母分数加减法时还没学过假分数。

讨论二：从意义到算理

现在，我们换个思考角度：不从原型，从意义来分析，算理的理解是否会更流畅？

材料1：填空，表示成算式。

3个10加2个10是（ ）个（ ），表示成算式：。

3个1加2个1是（ ）个（ ），表示成算式：。

3个加2个是（ ）个（ ），表示成算式：。

3个加2个是（ ）个（ ），表示成算式：。

讨论：5个10： 30+20=50

5个1： 3+2=5

5个： +  =

5个： +  =

材料2：你能算吗？理由呢？

+  =

-  =

讨论：4个  加2个  是6个 ，写作 。

4个  减2个  是2个 ，写作 。

材料3：计算，看谁算得又对又快？

+  =               +  =

-  =               +  =

讨论：不用去想几个几分之一加几个几分之一，只要分母照抄，分子相加减就可以了。

进一步讨论：分母不变，分子相加减。

讨论三：合适的才是最好的

“同分母分数加减法”的算理在于相同的计数单位相加减，而相同的计数单位相加减这个“理”，学生已经感悟了三年，只是他们的感悟尚不能表达为计数单位相加减。

加减法的实质是计数单位不变，计数单位的个数相加减。而这个“理”，用图来表达反而会变得隐晦。所以，不要以为画图是最能懂的，关键是要看说明什么问题。

（责任编辑：孙建辉）