数列中的恒成立问题研究

朱红林

纵观近几年各地的高考试卷，数列问题始终是一个热点，以数列为载体的恒成立问题，由于涉及的知识点更综合，也是数形结合、回归转化思想的集中体现，因此备受命题人青睐.本文试着通过几个例子归纳这类问题的常用处理手段及解题时需要注意的问题.

策略一：直接观察求最值

例1：等差数列{a■}中，a■=8，a■=2，设b■=■（n∈N■），T■为b■的前n项和，是否存在最大的正整数m，使得对于任意的n∈N■均有T■>■？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.

分析：恒成立问题的本质是最值，本题中，T■可以视作一个关于n的函数，因此只要求其最小值即可.而通过观察单调性，则是求最值最常见的方法.

解：易得a■=10-2n，而b■=■，

因此由裂项法可以得到：T■=■（1-■）.观察可得，

T■是关于n的递增函数，故T■的最小值是T■=■，因此■<■成立，即m<8.

又因为m∈N■，所以m的最大值为7.

策略二：作差的方法求最值

除了套用常规求函数最值的方法，数列中由于其变量是正整数这一特殊性，决定了其还具有变通的方法求最值，即通过作差或作商的方法比较a■与a■的大小确定其单调性.具体来说，当a■-a■>0则a■单调递增；a■-a■<0则a■单调递减.

例2：a■=■，b■=a■·a■，T■为b■的前n项和，对任意的自然数n，存在实数T满足T■≥T成立，求T的最大值.

分析：把T■视作关于n的一个函数，再通过作差研究其单调性.

解：b■=a■·a■=■·■=■（■-■）

T■=■（■-■+■-■+■-■+…+■-■）

=■（■+■-■-■）

∴T■-T■=■（■-■）>0

{T■}单调递增，故（T■）■=T■=■≥T

∴T的最大值为■.

策略三：作商的方法求最值

除了采取作差的方法外，还可以采取作商的方法，即正项数列满足■>1，则a■单调递增；■<1，则a■单调递减.

例3：已知数列C■≤■m■+m-1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围.

分析：C■=（3n-2）（■）■，直接通过观察法无法确定其单调性，又由于其中涉及指数形式，故采取作商研究其单调性.

解：由■=■=■<1得：n>1，故当n≥2时，C■单调查递增，当n≥2时，C■的最大值为C■=■，所以■≤■m■+m-1，解得m≥1或m≤-5.

策略四：分离参数后求最值

除了上述能够直接求出最值的情形，更多时候，所研究的数列中字母参数跟主元（通常是n）混在一起，这样就不容易直接求出最值，便需要通过恒等变形，使参数跟主元分离，从而转化为求主元函数的值域.

例4：等差数列{a■}中，a■=1，S■为前n项和，且满足S■-2S■=n■，n∈N■，

（1）求a■；

（2）b■=3■+（-1）■λ2■（λ为非零常数），若对任意正整n，都有b■>b■，求λ的范围.

分析：易得a■=n，由b■>b■恒成立，可以分离出λ，再利用函数思想就可以转化为形如“a>f（x）”或“a

解：由b■>b■得：3■+（-1）■2■λ>3■+（-1）■2■λ，化简得2·3■>3（-1）■·2■λ.

由于涉及（-1）■，因此需要对n的奇偶进行分类讨论.具体如下：

当n为奇数时，2·3■>3·2■λ即λ<■（■）■，令f（n）=■（■）■，则f（n）关于n单调递增，

此时f（n）■=f（1）=1，所以λ<1.

当n为偶数时，则2·3■>-3·2■λ，即λ>-■（■）■，令g（n）=-■（■）■，则g（n）关于n单调递减，

此时f（n）■=g（2）=-■，所以λ>-■.

综上，-■<λ<1.

策略五：分别研究最值

例5：数列a■首项为-1，（n+1）a■，（n+2）a■，n成等差数列

（1）若b■=（n+1）a■-n+2，求证：{b■}为等比数列；

（2）求{a■}的通项公式；

（3）若a■-b■≤kn对任意的nn∈N■都成立，求实数k的范围。

分析：当某个复杂的数列是由两个数列相加的结果，通常可考虑上述策略，利用观察法或者作差（作商）等方法对两者的单调性分别进行研究，从而得出整个数列的最值。

解：（1）（2）略

（3）由（2）可得：a■-b■=■（■）■+■

a■-b■≤kn即：k≥■（■）■+■

记C■=■（■）■，d=■，e■=c■+d■

易知C■随n的增大而减小

而d■-d■=■，

故n≥5时，d■

即n≥5时，e■随n的增大而减小，

又e■=0，e■=■，e■=■，e■=■，e■=■

故e■e■>e■>e■>…

因此e■=■最大，∴k≥■.

以上总结了高中数列恒成立问题中较常见的类型，与函数的恒成立问题既有相似之处，又由于数列中变量的特殊性，因此有差别，在分析题目时应灵活结合数列单调性的研究，以便能够轻松求解。