浅谈初中数学教学中的函数思想和方程思想

张晖萍

一、引言

百年大计，教育为本。随着我国教育事业的发展，初中数学教育越来越重视学生数学思想的培养。数学思想在数学教育之中有着重要的地位，它是数学学习的灵魂所在，关系着学生数学学习的效率及学生对于数学问题的解答质量。初中生数学思想的培养旨在帮助学生更好地理解初中数学中的概念及重点。初中数学教学大纲中涉及的数学思想主要有：函数思想、方程思想、建模思想、转化思想及数形结合思想等。其中，函数与方程思想是初中数学教育的重点培养思想。本文通过分析二者概念的定义，并结合具体的应用实例，旨在帮助中学生更好地理解函数思想及方程的本质，提高学生在面对具体数学问题时的应用能力。

二、相关概念

（一）函数思想

在初中数学教学中，首先引出的是函数的概念。函数描述的是自然界中数量之间存在的关系。函数思想主要是通过具体问题的数学特征，分析具体数学量之间的关系，进而建立数学模型，从而进行问题的深入研究。初中数学中的函数思想主要体现在学生“联系和变化”的能力。在具体解题中，首先应该根据题意构建函数y，然后再利用函数的增减性、最大值和最小值、图像变换等对问题进行具体的分析。初中数学中的函数模型主要有一次函数、反比例函数、二次函数、锐角三角函数等几类，大部分的数学函数题也是围绕这几类函数模型的。

函数思想并不只是针对函数类数学题而存在的。函数思想虽然基于学生对函数的概念及性质的掌握，但是在各类数学题中都能得到体现。这就要求在具体的解题中，应该善于挖掘题中的隐含条件，进而构造出函数模型。初中生在解数学题过程中应该锻炼自己的审题能力，能够对题目进行充分、全面的解读，这是培养学生函数思想的重要前提。

（二）方程思想

初中数学教材中涉及的方程思想主要立足于具体数学问题的数量关系，然后通过学生正确理解，将问题中所给的语言文字转化为相应的数学语言，进而转化为既定的数学模型。这里提到的数学模型包括方程、不等式、混合式（方程与不等式共存），然后通过计算获得方程或者不等式的解，从而使得数学问题得到解决。值得强调的是，与函数思想一样，方程思想的适用范围很广，它并不只针对方程问题存在。就像前面提到过的不等式中同样用到了方程思想。随着对初中数学的进一步学习，我们能够体会到方程思想的用处很广，它会潜移默化地影响学生的解题思路，帮助学生提高解题能力。

笛卡尔将方程思想进行了具体的概括，他认为的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。在数学领域，几乎到处都有等式与不等式存在。初中数学作为数学教育的基础教育，大部分内容都是建立在等式与不等式之上的。哪里有等式，哪里就有方程思想。具体应用到初中数学中，设未知数、列方程、研究方程、解方程都是学生应用方程思想的重要体现。

三、应用案例

（一）函数思想的应用

我们在初中数学中所遇到的数量关系有时没有那么直观，如果利用函数思想建立数学量之间的函数关系模型就能够有效解决这一问题。通过构建具体的函数模型研究初中数学问题，可以使很多东西简单化。同时，培养学生的函数思想有助于其学习能力的提高、学习成绩的进步。

例如：据报载，我省人均耕地已从1951年的2.93亩减少到1999年的1.02亩，平均每年减少0.04亩。若不采取措施，继续按此速度减下去，若干年后我省将无地可耕，无地可耕的情况最早会发生在（    ）。

A.2022年？摇？摇B.2023年？摇？摇C.2024年？摇？摇D.2025年

解：设x年后我省可耕地为y亩，则y与x的函数关系式为y=2.93-0.04x。

令y=0得x=73.25。

考慮实际情况x应取74，无地可耕的情况最早会发生在1951+74=2025，所以应该选D。

上述例题的解答问题就体现了函数思想。通过建立时间与耕地面积的函数关系使题目简单化。倘若直接计算，也能得到正确答案，只是解答过程会相对繁琐并且容易出现错误。其实，利用函数思想解决初中数学问题的中心思想很简单，就是构建函数关系式。但具体应用起来并非易事。学生要综合考虑函数的性质、图形及实际情况解答问题，并不是单纯地列出函数式就可以了。教师应加强学生的相关练习。

（二）方程思想的应用

1.方程的思想在代数中的应用：对于一些概念性的问题可以用方程的思想解决。

例如：1）■+1与■互为相反数，求m的值;

2）p（x，x+y）与q（y+5，x-7）关于x轴对称，求p、q的坐标。

解题思路就是根据给出的语言描述，利用相反数的概念及关于x轴对称的性质列出相应的方程式，然后对方程式进行求解。

2.方程的思想在几何中的应用：最典型的就是给出边（角、对角线、圆的半径）的比，求有关的问题。

例如：若三角形三个内角之比是1∶1∶2，判断这个三角形的形状。

解题思路为：设每一份为x，三个角分别就是x，x，2x，

则x+x+2x=180，解方程得x=45，所以该三角形为等腰直角三角形。

从上面的例子可以看出，方程思想在具体应用中就是利用方程观点，用已知量和未知量列出等式或者不等式，然后再对方程进行求解。教师应该加强培养学生根据题意列方程的能力，这是利用方程思想解题的关键所在。

四、结语

函数思想与方程思想作为重要的数学思想，都能体现出数学的本质、数学能力及数学的学科特点。这两种数学思想在初中数学中属于最基本的解题思想。对于初中学生而言，加强函数与方程思想的训练能够不断增强学生思维的灵活性，进而提高初中学生的数学解题能力。

函数思想的运用主要是把具体数学问题中的量分为变量和常量，分析它们之间的关系，用函数式的形式表现出来，然后再根据函数的性质解决问题;而方程思想对具体数学量的划分包括已知量和未知量，然后分析它们之间的关系列出方程式（或者不等式），再通过解方程、分析方程等方法解决问题。换句话说，函数与方程的思想就是通过分析数学量的关系，将其与函数或方程联系起来，从而解决问题。但是值得注意的是，数学思想作为解数学题的指导思想，并不是相对独立的，利用方程思想解决函数问题或者利用函数思想解决方程问题的情况也时有发生。这与数学自身的学科特点也有一定的联系。在初中数学中，同一内容可以表现不同的数学方法，同一数学方法也可能分布在不同的知识点中，所以在课堂教学中应该帮助学生不断概括、整理数学方法，使学生在应用的同时更好地掌握多种数学思想。