广义Black—Scholes方程的算子级数解

摘    要： 本文主要研究系數依赖时间和空间的非齐次的广义Black-Scholes方程，结合一些引理和推论，将Adomian分解法推广到求解更一般的广义Black-Scholes方程的数值解。利用Adomian分解法，我们得到广义Black-Scholes方程的含有算子形式迭代的一般级数解，同时证明该方法对广义Black-Scholes方程同样适用。

关键词： 广义Black-Scholes方程    Adomian分解    算子迭代    级数解

期权作为当今世界金融经济的研究热点之一，引起越来越多的人的关注。其中期权定价作为期权研究的核心问题，取得的举世瞩目的成果。近年来，随着经济的迅速发展，期权形式日趋复杂，各种定价方法也层出不穷。经典的Black-Scholes期权定价模型将股票价格的期望收益率和波动率都描述为常数，实际上像这样的资产模型在金融市场上很难找到，越来越多的学者认为模型应该是非线性的，波动率和期望收益率应当描述为时间或者股票价格的一般函数，而笔者研究的就是系数依赖于时间和空间的非齐次Black-Scholes方程的数值解问题。丁会敏、何传江和殷涛利用Adomian分解法给出求解常系数和系数依赖时间的非齐次Black-Scholes方程数值解的方法，笔者在此基础上利用一些引理及推论，将Adomian分解法推广到求解广义Black-Scholes方程的数值解，并得到其迭代形式的算子级数解，证明该方法同样适用于广义Black-Scholes方程的求解问题。

1.模型简介

笔者将研究变系数的非齐次Black-Scholes方程的终值问题：

3.结语

本文沿用了丁会敏、何传江和殷涛数的数值解法，考虑了对于更一般的Black-Scholes方程，当波动率和期望收益率为时间和股票价格的一般函数时，同样利用Adomian分解法，使用算子形式的迭代，也可以得到方程的一般级数解，而这种方法同样适用于其他类似的偏微分方程问题。

参考文献：

[1]姜礼尚.期权定价的数学模型和方法[M].北京：高等教育出版社，2008：75-80.JIANG Li-shang.Mathematical model method of options pricing[M].Beijing：Higher Rducation Press，2008.

[2]丁会敏，何传江，殷涛.Adomian分解下非齐次Black-Scholes方程的算子级数解[J].云南大学学报：自然科学版，2013，35（5）：738-743.DING Hui-min，HE Chuan-jiang，YIN Tao.An Operator series solution of non-homogeneous Black-Scholes equation based on Adomian decomposition[J].Journal of yunnan university，2013，35（5）：738-743.

[3]ABRAHAM J.ARENAS，GILBERTO GONZALEZ-PARRA.A nonstandard finite difference scheme for a nonlinear Black-Scholes eqution[J].Mathematical and Computer Modelling，2011.

[4]Z. CEN， A. LE. A robust and accurate finite difference method for a generalized Black-Scholes equation[J].Comput. Appl. Math， 2011， 235（13）：3728-3733.

[5]L. JODAR，P.SEVILLA-PERIS，J.C.CORTES，R.SALA. A new direct method for solving the Black-Scholes equation[J].Appl. Math. Lett， 2005，18（1） ：29-32.

[6]M. BOHNER， Y. ZHENG. On analytical solutions of the Black-Scholes equation [J].Appl. Math. Letts， 2009， 19（22）：309-313.

[7]K. ABBAOUI，Y.CHERRUAULT.Convergence of Adomian’s method applied to differential equations[J].Comput.Math.Appl， 1994， 28（5）：103-109.

[8]G. ADOMAIN. A review of the decomposition method in applied mathematics[J].Math. Anal. Appl， 1988， 135（2）：501-544.