曲线轨迹方程的常见求法

高雄英

求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查对圆锥曲线的定义＼性质等基础知识的掌握外，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点.

一、直接法

将动点满足的几何条件或等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.

例1：已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数λ，求点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线.

解：建立坐标系如图所示，设|AB|=2a，则A（-a，0），B（a，0）.

设M（x，y）是轨迹上任意一点.

二、定义法

若动点轨迹的条件符合某一基本曲线的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），则可用定义直接探求.

例2：某检验员通常用一个直径为2cm和一个直径为1cm的标准圆柱，检测一个直径为3cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？

分析本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程及将实际问题转化为数学问题的能力.

解：设直径为3，2，1的三圆圆心分别为O、A、B，问题转化为求两等圆P、Q，使它们与⊙O相内切，与⊙A、⊙B相外切.

建立如图所示的坐标系，并设⊙P的半径为r，则

|PA|+|PO|=（1+r）+（15-r）=2.5

∴点P在以A、O为焦点，长轴长为2.5的椭圆上，

當然，求轨迹方程时，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性，注意去“杂”、“补漏”;同时还要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.