刍议结构新颖的选择试题的正解与特解

褚华

随着高考的不断的发展，高考试题也在不断的变迁与创新.近些年来，在高考试题中、各地的高考模拟试题中，以及重点高校的自主招生的考试中，都出现了一种“也许你不会求解，但你可以分析判断”结构的新型选择题，突出考查学生的分析问题和解决问题的能力.这种试题的特点是：正确选项一般都要通过非高考要求的知识进行求解才能得到，如微积分或高中物理竞赛解题方法等，我们把这种解题的方法叫做“正解”，同时这些试题也可以用一些技巧性的方法来求解，学生通过现有的物理知识分析或判断来推理得到正确的答案，我们把这种解题的方法叫做“特殊解法”，简称“特解”.举例如下.

试题1 （2009年北京卷）图1为一个内、外半径分别为R1和R2的圆环状均匀带电平面，其单位面积带电量为σ.取环面中心O为原点，以垂直于环面的轴线为x轴.设轴上任意点P到O点的的距离为x，P点电场强度的大小为E.下面给出E的四个表达式（式中k为静电力常量），其中只有一个是合理的.你可能不会求解此处的场强E，但是你可以通过一定的物理分析，对下列表达式的合理性做出判断.根据你的判断，E的合理表达式应为

A.E=2πkσ（R1x2+R21-R2x2+R21）x

B.E=2πkσ（1x2+R21-1x2+R21）x

C.E=2πkσ（R1x2+R21+R2x2+R21）x

D.E=2πkσ（1x2+R21+1x2+R21）x

正解 如图2所示，在圆环内部取一个半径为R，宽度为dR的细圆环，再在细圆环上取一个长度元dl.不同的长度元dl所带的电荷在P点产生的场强dE方向各不相同，为此把dE分解为平行于x轴的分量dE∥和垂直于x轴的分量dE⊥.根据对称性，细圆环在P点处沿垂直x轴方向的场强的矢量和为零，在x轴方向上的分量和就是细圆环在P处的总场强，即为

∫dE∥=∫dEcosθ=∫2πR0kσdRcosθx2+R2dl

=2πkσRdRx2+R2xx2+R2

=2πkσxRdR（x2+R2）3/2.

由于圆环是由许多同心细圆环所构成，所以圆环在P处的场强就是许多同心细圆环在P处激发的场强矢量和，即

E=∫R2R1dEx=∫R2R12πkσxRdR（x2+R2）3/2

=2πkσ（1x2+R21-1x2+R22）x，

故正確选项是B.

特殊解法 场强的单位为N/C，k为静电力常量，单位为Nm2/C2，σ为单位面积所带的电量，单位为C/m2，则2πkσ表达式的单位即为N/C，故各表达式中其它部分应无单位.由此可知选项A、C肯定错误；当x=0时，此时要求的场强为O点的场强，由对称性可知EO=0，当x→∞时，E→0，而D项中E→4πkσ，故D项错误.所以正确选项只能为B.

试题2 （2012年安徽卷）如图3所示，半径为R的均匀带电圆形平板，单位面积带电量为σ，其轴线上任意一点P（坐标为x）的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出：E=2πkσ[1-x（R2+x2）1/2]，方向沿x轴.现考虑单位面积带电量为σ0的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为r的圆板，如图4所示.则圆孔轴线上任意一点Q（坐标为x）的电场强度为

A.2πkσ0x（r2+x2）1/2

B.2πkσ0r（r2+x2）1/2

C.2πkσ0xr

D.2πkσ0rx

正解 利用试题1“正解”的结论，令R2→∞，便可以得到无限大均匀带电平板中间挖去一半径为r的圆孔，圆孔轴线上任意一点Q（坐标为x）的电场强度为

E=2πkσ0x（r2+x2）1/2.

故正确选项是A.

特殊解法 由于带电体表面的电场强度的方向垂直于带电体表面，无限大均匀带电平板周围的电场应是垂直于平板的匀强电场，即电场强度处处相等，且等于x=0处的电场强度，由题中信息可得单位面积带电量为σ0无限大均匀带电平板电场场强的大小为E=2πkσ0.

现在可以这样假设，半径为r的圆孔上带有均匀分布电荷密度为+σ0和-σ0的两种电荷.则Q点处的场强就可以看成是电荷面密度为+σ0的无限大均匀带电平板在Q点产生的场强E1和电荷面密度为-σ0、半径为r的带电圆盘在Q点产生的场强E2的矢量和，由于E1和E2的方向相反，所以Q点的总场强E的大小应为

E=E1-E2=2πkσ0-2πkσ0[1-x（x2+r2）1/2]

=2πkσ0x（x2+r2）1/2.

故正确选项是A.

试题3 （2013年复旦千分考）质点做直线运动，0≤t≤T时段内瞬时速度为v=v01-（tT）2，其平均速度为.

A.v0 B.v02 C.πv04 D.3v02

正解 可以根据x=∫T0vdt与=xT进行求解.设t=Tsinθ，其中θ∈（0，π2），则dt=Tcosθdθ，所以

=∫T0v01-t2T2dtT

=∫π/20 v0cos2θdθ

=v02∫π/20 （1+cos2θ）dθ

=v02∫π/20 dθ+v04∫π/20 cos2θd（2θ）

=πv04.

故正确选项是C.

特殊解法 首先可以做一个初步判断，A、B两个选项肯定不对.其次原式可变为

（vv0）2+（tT）2=1，

上述方程在v-t图象中对应的是一个椭圆方程，我们知道，在v-t图象中，曲线与时间t轴所围成的面积表示质点的位移，而椭圆面积公式是S=πab，可以判断在最后结果中，应该包含π，所以在C、D两个选项，只能选择C是正确的.

试题4 （合肥2014届高三第二次模拟考试）如图5所示，质量为M、倾角为θ的斜面体B静止在光滑水平面上.现将一质量为m的小滑块A无初速的放在B的光滑斜面上后，相对地面的加速度为a，重力加速度为g.下面给出a的四个表达式，其中只有一个合理的，你可能不会求解B相对地面的加速度，但是你可以通过一定的物理分析，对下列表达式的合理性做出判断.根据你的判断，a的合理表达式应为

A.a=msinθcosθMg B.a=mtanθMg

C.a=msinθcosθM+msin2θg

D.a=mtanθM+msin2θg

正解 选择水平面地面为参照系，建立坐标系，并对A、B进行受力分析，如图6所示.分别对两个物体列牛顿运动定律方程如下.

滑块A： -Nsinθ=-maAx（1）

Ncosθ-mg=-maAy（2）

斜面体B： N′sinθ=MaBx（3）

N′cosθ+Mg-F=0（4）

以上的四个方程中有五个未知数，它们是aAx、aAy、aBx及N、F.所以还必须寻求一个新的独立方程，才能联立求解.

根据相对运动中A对C=A对B+B对C的关系，设A物块相对B斜面的加速度在x-y坐标系中分别为aA对Bx和aA对By，则

aA对Bx=-aAx-aBx，

aA对By=-aAy-0，

所以在以B斜面为参照物时，应满足如下几何约束

tanθ=aA对ByaA对Bx=-aAy-aAx-aBx（5）

联立（1）～（5）式解得aBx=msinθ·cosθM+msin2θg.

故正确选项是C.

特殊解法 首先用极限的方法来排除肯定不对的选项.令θ→90°时，斜面体B的加速度应该是a→0，立刻可以排除选项B、D不对.对于A选项，是在认为“物块对斜面体压力”为N′=mgcosθ情况下得到的斜面体的加速度，显然这是错误的，因为滑块与斜面体之间有相对加速度，所以N′≠mgcosθ.在排除了A、B、D选项的可能性情况下，只有选择C.