从教材中初探 “建模” 教学的有效性

张晓凌

摘 要： 通过对《沪科版》教材的两轮教学，将教材中部分精华整理分析，提炼出数学方法，充分利用教材内容有效建立数学模型，利用数学模型解决实际问题；通过建立数学模型渗透函数思想，将建立数学模型教学有机融入平时教学中，突出建立数学模型教学的有效性。

关键词： 建模教学 教材 教学模型

事实上，自然界事物的发生、发展是有规律的，建立数学模型教学就是按照自然的发展的规律进行的。那么，初中数学教师如何通过教材进行“建模”教学呢？

一、通过提炼教材知识中的数学模型，培养学生的建模意识，达到事半功倍的教学收效。

建立数学模型教学在《沪科版》教材中有突出体现。我在教学中将其整理分析，提炼出数学方法，利用第二课堂与学生们交流探讨。

教材八下（2011年12月修订版）第22页习题18.1

第1题的第（3）题：某小组同学元旦互赠贺年卡一张，全组共赠贺年卡90张，求这个小组的同学数x.

第1题的第（4）题：一个小组的同学元旦见面时，每两人都握一次手，所有人共握手10次，求这组同学数x.

问题分析：这类问题对于七、八年级学生来讲难度较高。如果能在老师的引导下让学生通过独立思考，得到不同的解决方案，就能使每个学生的思维得到不同程度的发展。这类型题涉及的不仅仅是数学建模问题，还有数学思想、数学知识、数学技能和问题解决的方法。这类问题是分类计数问题，如何分类？如何计数？

将以上问题中的每个研究对象用圆周的1个点表示，多少个研究对象就取多少个点，这些点用A■、A■、A■、A■…A■表示。每个点之间的连线表示问题中“线段”、“贺卡”、“握手”等具体事件。

建模方法一：“生成法”

建模方法二：“对称法”

点A■与其他（n-1）个点分别用线段连接得（n-1）条线段，因为这些点它们的地位对称的，所以，总的线段有n（n-1）条线段，而它们每两点之间连线重复一条，因此，总的线段有■条线段。

数学思想：在这些建模的过程中体现了分类归纳推理的数学思想和数形结合的数学方法。

学生掌握这个数学模型之后，解决类似问题就非常方便。如问题：

1.由一个锐角的顶点在其内部画n条射线可得多少个角？

2.一条铁路线上有n个车站要准备多少种车票？

3.平面内有n条直线，最多可以把平面分成多少部分？（用“生成法”较好）

因此，利用教材资源进行建立数学模型教学，效果显著，学生能触类旁通。

二、以教材为抓手引导学生从生活中抽象出函数模型、建立函数模型应用函数模型，从而形成函数思想。

《沪科版》教材以问题为中心进行探究模式编排的，突出了建立数学模型的过程与用数学模型研究数学与现实问题。例如在函数教学中，教材安排《第12章平面直角坐标系》作为铺垫。在引入函数概念时，用了三个经典实际问题进行提炼、简化。最后，抽象出“变量”、“常量”、“自变量”、“因变量”等概念。在建立具体的函数模型中的教学中，我重点分析课本中的有生活背景的例题得出数学模型的办法，再研究函数性质。

如分段函数教学，教材给出：

例5为节约用水，某城市制定以下用水收费标准：每户每月用水不超过8立方米时，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费；超过8立方米时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元的污水处理费。设一户每月用水量为x立方米，应缴水费y元。

（1）给出y关于x的函数关系式；

（2）画出上述函数图像；

（3）该市一户某月若用水量x=5m■或x=10m■时，求应缴水费；

（4）该市一户某月缴水费26.6元，求该户这月用水量。

本题是生活中的数学模型，同学们感兴趣，但解决时感到棘手。

分析这个问题时先从x的取值范围入手，理清用水量与水价之间的关系，再由学生小组讨论用水量与水价的关系。这点清楚了问题就没有了，同时模型就初步形成了。

为了巩固这个函数模型，教材练习配了3个分段函数的习题。我在教学中感到学生的分段函数模型的思想还没有完全形成。于是，我用典型例题进行引导：

例题：为了促进节能减排，倡导节约用电，某市将实行居民生活用电阶梯电价方案，图中折线反映了每户每月用电电费y（元）与用电量x（度）间的函数关系式.

（1）根据图象，阶梯电价方案分为三个档次，填写下表：

（3）求第二档每月电费y（元）与用电量x（度）之间的函数关系式；

（4）在每月用电量超过230度时，每多用1度电要比第二档多付电费m元，小刚家某月用电290度，交电费153元，求m的值.

分析：

（1）利用函数图象可以得出，阶梯电价方案分为三个档次，利用横坐标可得出：第二档，第三档中x的取值范围；

（2）根据第一档范围是：0

进而得出x=120时，求出y的值；

（3）设第二档每月电费y（元）与用电量x（度）之间的函数关系式为：

y=ax+c，将（140，63），（230，108）代入得出即可；

（4）分别求出第二、三档每度电的费用，进而得出m的值即可.

点评：本题难度适中，学生基本会分析数量关系，进行分类讨论，加深了对分段函数数学模型的掌握。

充分利用教材内容有效建立数学模型，利用数学模型解决实际问题；通过建立数学模型渗透函数思想。将建立数学模型教学有机融入平时教学中，突出了建立数学模型教学的有效性。

建模教学是数学教学不可或缺的，也是培养学生科学素养的一个重要途径。