小学阶段如何处理“极限”？

张奠宙

小学数学教材里有一些内容涉及无限，一向多有争论。本文拟谈一些不同看法，就教于方家。

人教社2014版教材六上的“数学广角”栏目里有以下的题目：

计算：

接着是两句对话：

“从图上可以看出，这些分数不断加下去，总和就是1。”

“有些问题通过画图，解决起来更直观。”

结论是：

读了以上文字，说明小学数学里已经正面地提出无穷级数来了。教材能够说得清楚吗？值得关注。

一、这段教材容易引起混乱

这段教材内容涉及无限过程，但教材不作任何提示。现在的小学数学教材，多半“不作正面叙述，让学生依靠生活经验自己去发现”。这对一些浅显的概念建立，自然可行。但是对于已经具备初步逻辑思考能力的六年级学生来说，尤其是对涉及无限这样的超经验课题，就需要在逻辑上把事情说得更清楚些。由于学生没有关于“无穷”的基础知识储备，也没有关于“无限”的生活体验作支撑，学生对上述的几句话，只能去“猜”，以至产生一些思想混乱。

首先，“计算：…”的提法本身就有问题。无穷级数意味着是无限多项相加。这在小学数学里从来没有出现过。也就是说，“计算”二字，从来都是有限项的计算，无穷多项是不能相加的。然而，教材对此没有任何说明。学生于是只好“猜”，认为这是前有限项不断相加的过程：

这是一个无限的计算过程，没完没了、万世不竭。

接着，教材的对话说：“从图上可以看出，这些分数不断加下去，总和就是1。”

这个“总和“是什么意思？又是突然冒出来的。无穷项相加能不能加完？有没有“总和”？教材仍旧不加解释。教材编者的意思是，从图形来看，不断相加形成的无限数列，越来越接近于1，而且无限地接近1。这个数1，就是“无限项之和”。这意味着，无限项都已经加完。跨过了潜无限的鸿沟，完成了无限相加的过程。

最后，教材里又突然出现等式：

这一等式中，左边原本是一个无穷级数，右边是一个数字1。这两个不同性质的对象，怎么可以相等？教材编者的意图还是要求学生“猜”：等式左边所写的式子已经不是无穷级数本身了，而是指无穷级数的“和”。“和”是一个数，所以可以相等。

总之，这段教材，要学生先猜“什么是无穷级数”;二猜“什么是无穷级数之和”，三猜“无穷级数本身与它的‘和’是同一个表示式”。明明白白的数学，成了模糊的“谜语”，未免失当。

教材编者会争辩，我们只是看一个例子，用图形显示它有“和”是1。但是，小学生看到的只是“不断加”“不断接近于1”，并没有达到那个“总和”。这就是说，教材这样的写法，令人疑窦丛生。事实上，根据王永春的一次测验统计[1]，能够依照编者意图给出此题答案的学生只占 31.33%，可见，教材内容未被学生充分理解。

二、关于无穷级数的阅读材料的建议

小学数学的基础内容不宜过多。无穷级数不是小学生所必须知道的事情。不过，不同的人学习不同的数学。为优秀学生写一段无穷级数的阅读材料，也是有必要的。小学数学要符合六年级小学生的认知水平，不可能正面讨论极限，只能大体描述，不求严格。但是对于无限过程，要尽量说清楚。

不妨设想，在数学广角栏目里，有一页的标题就是“无穷级数的和”。内容为：

我们把形如以此类推。

如果这一数列能够随着加项的增加无限地接近一个常数A，而且彼此的距离要多小就可以有多小，我们就说A是无穷级数的和。

例如：无穷级数

即此无穷级数之和是1。

并非无穷级数都有有限的“和”。如：

就不会以一个有限的数作为“和”。事实上，只要将它逐项与下列无穷级数进行对比，就可以看出，它的部分和数列会无限增大：

（注意：后一个无穷级数的每一项都小于前一个级数的相应项，但是括弧里的项加起来都是。无限多个加起来就会越加越大而无止境了。）

总之，在这段文字里，没有提“计算无穷级数”，也没有用“总和”的字样，避免误会，只把能说清的尽量说得清楚些，使人可以琢磨、理解。至于一时说不清的，如极限概念，也只好定性地描述，不去过多地涉及。

三、关于小学数学里有关无限过程的一些认识

小学数学里不可避免地要涉及无限过程。因为自然数是无限的，直线是可以无限延长的。不过，这两个无限都是没完没了的潜无限。小学生凭直觉可以想象，接受起来没有困难。至于极限是有限数的变化过程，小学数学有两处要涉及：一是“圆面积公式”的导出，二是分数表示为无限循环小数。

圆面积公式的导出，多采用刘徽的割圆法，但那只是定性地描述，直观地观察内接正多边形面积随边数增加无限逼近圆面积的过程，没有定量地进行计算。至于通过剪拼、转化为矩形面积，需要用直线段代替圆弧，只能依靠直观观察，无法定量地推导，因而谈不上有多少极限思想。

比较复杂的是无限循环小数。这不得不涉及定量的极限计算。尤其是对0.9999999… =1 ，存在着许多争议。我们认为，各种认识没有对错之分，也不是用“极限思想”就可以统一的，关键在于把 0.9999999… 看作怎样的对象。一般说来，有以下四种。

1. 0.9999999… 是一个没完没了的潜无限过程。

这种认识来源于自然数，一个比一个大，没完没了。然而1是一个数，过程怎么可以等于一个数？所以0.9999999…=1 是不成立的。许多人持这种观点，并不是错误。但是我们要向他们解释不能局限于此。

2. 0.9999999… 是一个循环无限小数。

这种认识把无限小数当作一个独立的对象。现在要问0.9999999…=1 是否成立，就要问什么是无限小数之间的相等。不妨把常数 1也看作一个无限小数 1.00000… ，然后依照无限小数相等的规则去看它们是否相等就好了。

3. 0.9999999… 是一个数列。

在数系扩充过程中，实数系的对象可以是无限小数，可以是戴德金分割，也可以是“基本列”，即满足柯西收敛准则的数列（基本列都是收敛的，有有限的极限值）。这时{0.9，0.99， 0.999，… }和{1，1，1，1，…} 都是基本列。那么，什么是两个基本列相等呢？就是它们的极限相等。因此0.9999999… = 1就转化为两个基本列的极限值是否相等的问题。其实，极限为1的数列多得很，它们彼此都是等价的。例如{0.9，0.99，0.999，… }={ 1.1，1.01，1.001，1.0001，…}它们都等于基本列{1，1，1，1，…}。这就是说，0.9999999… =1，是指两个基本列相等，它们的极限都是1。

4. 0.9999999… 是无穷级数。

这时0.9999999… 被看作无穷级数 ++ +… ，它的部分和数列是

Sn = 1- ，n=1，2，3，…. Sn 有极限1。

按照无穷级数理论，部分和如果有极限值A，就称A为无穷级数之“和”。这样一来，0.9999999… =1就是指0.9999999… 以1为它的和，等式两边都是一个数。

值得注意的是：无穷级数的“和”不过是其部分和数列存在极限的同义语，一个规定而已。和，依旧是在被不断地逼近，并没有说完成了无限多项相加的操作。

通过以上四种看法，我们有以下的结论：

首先，把0.9999999…看作一个过程，是很自然的事，并非错误。说0.9999999…在过程中一直小于1，也是对的。但是，我们不应局限于此，还可以有另外的看法，应该多角度地观察和思考。

其次，后三种看法，都会用到极限概念，但是处理方法并不相同。0.9999999…=1 的意义各有不同。所谓相等，各有各的含义。除了数值的相等之外，还可以有无限小数的相等，数列的相等。

最后，无穷级数的处理，结合图形表示，可以有“无限项之和”。由于只有0.9999999…看作无穷级数，才有“无穷项之和”的说法，给人以“可以达到无穷”的意象。看起来似乎跨越了无限的鸿沟，但究其实质，只不过是数列有极限的一种说法。并不是真的“加了无穷次”，得到了“无穷多项相加的结果”。也就是说，我们只是把部分和数列的极限值叫作“和”而已。有极限，不意味着能到达无穷，完成了无穷的操作。

总之，0.9999999… =1的各种说法都有其存在的意义，容许共存。不要只奉一种说法作为正确的典范，而否定其他的说法。

至于0.9999999… =1 的许多所谓论证，只是一些说明而已。例如

设x= 0.9999999…，10x = 0.9999999… ×10  = 9.999999…

由于 10x–x = 9， 所以 x=1。这些所谓证明都是经不起推敲的。因为什么是无限循环小数的相乘，还没有定义过，而那又是很复杂的事情。

参考文献：

[1]王永春，再论极限思想[J].小学教学（数学版），2015，（5）：50.

（华东师范大学数学系   200241）