带电粒子在匀强磁场中运动的分析

余少洪

摘 要： 本文介绍带电粒子在匀强磁场中的运动规律，重点介绍了如何找圆心，确定半径和计算时间的方法。作者在高三连续从教八年之久，感觉学生对带电粒子在磁场中的运动规律总不是很明确，感觉有必要系统归纳一下，希望能对部分学生起到抛砖引玉的作用。

关键词： 带电粒子 匀强磁场 运动分析

一、带电粒子在磁场中的运动

1.匀速直线运动：若带电粒子的速度方向与磁场方向平行（相同或相反），此时带电粒子所受的洛伦兹力为零，带电粒子将以入射速度v做匀速直线运动。

2.匀速圆周运动：若带电粒子垂直匀强磁场方向进入磁场，则做匀速圆周运动。

（1）qvB=m■，得出r=■

（2）T=■=■

注意：①洛仑兹力始终和速度垂直，洛仑兹力不做功。

②r与v有关，T与v、r无关。

图3.6-2 带电粒子在匀强

磁场中做匀速圆周运动。

3.等螺距的螺旋线运动：当带电粒子与磁场一夹角θ（θ≠0o，900，1800）时，带电粒子做等螺距的螺旋线运动。

二、带电粒子在有界匀强磁场中做圆周运动的解题方法

正确解决这类问题的前提和关键是：画轨迹、找圆心、定半径、求时间。

1.找圆心：圆心一定在与速度方向垂直的直线上，通常有四种情况。

（1）已知入射点与方向和出射点与方向时，可以通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心。

（2）已知入射点与入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心。

（3）已知圆弧两不平行弦，两弦的中垂线必为圆心。

（4）已知粒子进入磁场和离开磁场时的速度方向（具体的位置未知），则圆心必在速度夹角的角平分线上。

根据以上总结的结论可以分析下面几种常见的不同边界磁场中的运动规律：

①直线边界（进出磁场具有对称性，如图（a）、（b）、（c）所示）；

②平行边界（存在临界条件，如图（a）、（b）、（c）所示）；

③圆形边界（沿径向射入必沿径向射出，右图所示）。

2.定半径：

（1）利用公式r=■计算，再利用几何图求其他量。

（2）用几何知识（勾股定理、三角函数等）求出半径的大小。

3.求时间：粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间表示为：t=■T（或t=■T）.

注意：偏向角Ф，圆心角α，弦切角θ三者关系：Ф=α=2θ.

例1.如图所示，一束电子（电量为e）以速度v垂直射入磁感应强度为B，宽度为d的匀强磁场中，穿过磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角是30°，则电子的质量是？摇？摇 ？摇？摇？摇，穿过磁场的时间是？摇？摇？摇 ？摇？摇。

解析：电子在磁场中运动，只受洛伦兹力作用，故其轨迹是圆弧的一部分，又因为F⊥v，故圆心在电子穿入和穿出磁场时受到洛伦兹力指向交点上，如图中的O点，由几何知识知，圆心角θ=30°，所以r=d/sin30°=2d.

又由r=■得m=2dBe/v.

又因为AB圆心角是30°，所以穿过时间t=■T=■×■=■.

例2.如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，宽度为d，边界为CD和EF.一电子从边界CD外侧以速率v■垂直射入匀强磁场，入射方向与边界CD间夹角为θ.已知电子的质量为m、电荷量为e，为使电子能从磁场的另一侧EF射出，则电子的入射速率v■至少多大？

解析本题考查圆周运动的边界问题.当入射速率v■很小时，电子会在磁场中转动一段圆弧后又从CD一侧射出.入射速率越大，轨道半径越大，当轨道刚好与边界EF相切时，电子恰好能从EF射出，如图所示，电子恰好能射出时，由几何知识可得

r+rcosθ=d.

由evB=m■得r=■.

联立得v■=■，

故电子要射出磁场，速率至少为■.

针对练习：如下图，在xOy坐标系的第一象限内有互相正交的匀强电场E与匀强磁场B，E的大小为1.0×10■V/m，方向未知，B的大小为1.0T，方向垂直纸面向里；第二象限的某个圆形区域内，有方向垂直纸面向里的匀强磁场B′。一质量m=1×10■kg、电荷量q=1×10■C的带正电微粒以某一速度v沿与x轴负方向60°角从A点沿直线进入第一象限运动，经B点即进入处于第二象限内的磁场B′区域，一段时间后，微粒经过x轴上的C点并与x轴负方向成60°角的方向飞出。已知A点的坐标为（10，0），C点的坐标为（-30，0），不计粒子重力，g取10m/s■。

（1）请分析判断匀强电场E的方向并求出微粒的运动速度v；

（2）匀强磁场B′的大小为多大？

（3）B′磁场区域的最小面积为多少？

【思路点拨】洛伦兹力与安培力的关系：洛伦兹力是安培力的微观实质，安培力是洛伦兹力的宏观表现。所以洛伦兹力的方向与安培力的方向一样也由左手定则判定。

【解析】（1）由于重力忽略不计，微粒在第一象限内仅受电场力和洛伦兹力，且微粒做直线运动，速度的变化会引起洛伦兹力的变化，所以微粒必做匀速直线运动。这样，电场力和洛伦兹力大小相等，方向相反，电场E的方向与微粒运动的方向垂直，即与x轴正方向成30°角斜向右上方。

由力的平衡条件有Eq=Bqv

得v=■=■m/s=10■m/s

（2）微粒从B点进入第二象限的磁场B′中，画出微粒的运动轨迹如右图。

粒子在第二象限内做圆周运动的半径为R，由几何关系可知：

R=■cm=■cm

微粒做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，即qvB′=m■

B′=■=■代入数据解得B′=■T

（3）由图可知，B、D点应分别是微粒进入磁场和离开磁场的点，磁场B′的最小区域应该分布在以BD为直径的圆内。由几何关系易得BD=20cm，磁场圆的最小半径r=10cm。

所以，所求磁场的最小面积为S=πr■=0.01π=3.1×10■m■.

参考文献：

[1]物理选修3-1.人民教育出版社.

[2]刘增利.教材解读与拓展选修3-1.开明出版社.