解直角三角形的应用教学设计

赵盼盼

一、指导思想

根据新课标的指导思想，结合注重开放与生成，构造充满生命活力的课堂教学体系的思想。改变课堂过于注重知识传授的倾向，强调形成积极主动的学习态度，关注学生的学习兴趣和体验，让学生主动参与学习活动，并引导学生在课堂活动中感悟知识的生成、发展与变化。在教学过程中由学生主动去发现、去思考，留有足够的时间让他们去操作，体现以学生为主体的原则；而教师为主导，采用启发探索法、讲授法、讨论法相结合的教学方法。这样，使学生通过讨论、实践，形成深刻印象，对知识的掌握比较牢靠，对难点也比较容易突破，同时也培养了学生的数学能力。

二、教学分析

1.地位与作用

解直角三角形的知识，可以被广泛地应用于测量、工程技术和物理中，主要是用来计算距离、高度和角度。教科书中的应用题，内容比较广泛，具有综合技术教育价值，解决这类问题需要进行运算，但三角中的运算和逻辑思维是密不可分的；为了便于运算，常需要先选择公式并进行变换，同时，解直角三角形的应用题和课题学习也有利于培养学生空间想象的能力，即要求学生通过对实物的观察，或根据文字语言中的某些条件画出适合它们的图形，总之，解三角形的应用题与课后学习可以培养学生的三大数学能力和分析解决问题的能力。

本章内容属于三角学，中学数学把三角学内容分成两部分，第一部分归入义务教育初中阶段，就是本章的解直角三角形。这主要是因为解直角三角形的知识有较多的应用，它的基础仅仅是锐角三角函数，这在学生学过相似三角形后不难接受。后一部分是三角内容的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和三角方程，将归入义务教育后的高中阶段。前一部分是后一部分的必要基础，只有学好锐角三角函数和直角三角形的解法，才能继续学习三角函数和斜三角形的解法。

同时，解直角三角形还有利于数形结合。通过这一章的学习，学生才能对直角三角形的概念有较为完整的认识。另外，有些简单的几何图形可分解为一些直角三角形的组合，从而也能用本章的知识加以处理。以后学生学习斜三角形的余弦定理、正弦定理和任意三角形的面积公式时，也要用到解直角三角形的知识。本节内容在这起到承上启下的作用。承上使学生对锐角三角形函数有更深的理解，更好地掌握。启下，通过对本节的学习为高中的知识打下基础。所以说，本节课的教学有着不可忽视的地位。

2.学情分析

学生在小学就接触过直角三角形，前几节已经学习了锐角三角函数，所以这节课内容学生可以接受。本节的学习使学生初步掌握解直角三角形的方法，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。同时让学生通过观察、思考、操作，体验转化过程，真正学会用数学知识解决实际的问题。

3.教学方式和教学手段

从学生最熟悉的实际生活创设问题情境，采用“引导—探究—解决—扩展”的教学方式，从学生活动出发，结合实物和多媒体教学，强调实用性。

4.技术准备

多媒体，三角板，半圆仪。

三、目标分析

学会用数学问题来解决实际问题，既是我们教学的目的，也是我们教学的归宿。本部分安排三节课，本节是第一节。根据课标的要求，要尽量把解直角三角形与实际问题联系，减少单纯解三角形的习题。在实际问题中，要使学生养成“先画图，再求解”的习惯，还要引导学生合理地选择所要用的边角关系。

1.知识目标：会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题。

2.能力目标：培养学生把实际问题转化为数学问题并进行解决的能力，进而提高学生的形象思维能力，渗透转化的思想。

3.情感目标：培养学生理论联系实际，敢于实践，勇于探索的精神。

重点：实际问题与数学问题之间的转化。

难点：如何把实际问题转化为数学问题。

四、教学过程

（一）创设情境，导入新课

在天安门广场的升旗仪式上，当嘹亮的中华人民共和国国歌响起，鲜艳的五星红旗高高飘扬的时候，心情激动的同时，你可曾想过，升起的国旗有多高呢？你能测量和计算它的高度吗？通过这节课的学习，我们又掌握了一种测量国旗高度的方法……

（教学意图：数学的教学要紧密联系生活实际，而学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的。呈现给学生现实生活实际的问题是为了激发学生主动探索的热情与兴趣，让学生有探索、解决问题的欲望。）

（二）新知导学

1.仰角和俯角的概念

我们站在低层的看台上，仰望升到顶端的国旗，视线在水平线的上方，这时视线与水平线所成的夹角，我们称为仰角（如图）。

站在高层的看台上，俯视升到顶端的国旗，视线在水平线的下方，这时视线与水平线所成的夹角，称为俯角（如图1）。

学生：通过看电脑展示结合图形理解仰角、俯角的概念。

老师：板书仰角和俯角的图形定义。

问题1：如图4，学生甲站在第1层看台的地面上，仰望升到顶端的国旗，已知他的双眼距地面1.5米，他的双脚距旗杆底部18米，看国旗的仰角为29°，你会利用这些条件计算国旗的高度吗？（结果精确到0.1米）如果这名学生继续往看台的上方走呢？

问题2：如图5，学生甲站在某一高层看台的地面上，俯视升到顶端的国旗，已知他的双眼距台阶1.5米，现在他的双脚距地面16米，距旗杆底部的水平距离为34米，看国旗的俯角为10°，你会利用这些条件计算国旗的高度吗？（结果精确到0.1米）

学生：根据所给图形，分析并列出式子。

1.5+18tan29°≈11.5（米）

问题3：学生甲站在看台的某层台阶上，请问：需要测量或补充哪些数据，才能计算出国旗的高度？

问题4：现在为了美观，旗杆AB下面摆设一些盆栽作装饰，即不能直接测量出人的双脚到旗杆底部B点的距离，当人站在C点时，测得旗杆顶A的仰角是16°，向旗杆的方向前进18米，在D处测得旗杆顶A的仰角为30°，求国旗的高度AB为多少米？（结果保留到0.1米）

1.5+16-34×tan10°≈11.5（米）

应用概念直接解题已知一个锐角和一个边和两个边的直角三角形的直角三角形都可解。加深问题的研究，扩展学生的思路，培养学生分析问题解决问题的能力，归纳总结出在直角三角形中已知一边和一个锐角，已知两边这样的直角三角形都是可解的。

（三）总结

解直角三角形的关键是找到与已知、未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构筑直角三角形；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角关系。

（四）巩固练习

如图8，山脚下有一棵小树AB，小强从点B沿山坡向上走了50米到达点D，用高为1.5米的测角仪CD测得树顶的仰角为10°，已知山坡坡角为15°，求树AB的高（结果保留到0.1米）

解：设AG=x，在Rt△AFG中，FG=AG/tan∠AFG=x/tan30°=x

Rt△AEG中，tan∠AEG=x/（x+18）x≈10.3

AB=AG+GB≈10.3+1.5=11.8m

板书设计：基础知识：

例3

例4

五、教学反馈，评价分析

本课设计中先安排一个引例，激发学生的兴趣，再设计有梯度的例题，让学生体验由实际问题转化为数学问题的过程。注重学生的思维过程，站在学生的角度思考问题，才能知道学生的问题出在哪里，这样不仅能让学生体验学习的乐趣，培养学生解决问题的能力。在活动的过程中，学生确实体验到数学在日常生活中无处不在，也让学生感悟到数学是有用的。在探索与交流中，让学生互问互检。注意学生的相互评价的作用，整节课学生都保持着较高的学习热情。

编辑 鲁翠红