含参线性规划问题的探究

韩晓锋

线性规划问题是近几年高考考查的热点，既体现了方程与不等式的联系，又体现了数形结合的思想。此部分命题模式往往是以线性规划为载体，考查区域的划分、区域的表示、区域的面积，往往涉及区域的最值、决策、整点、参数的取值范围等。

一、约束条件中含参

例：（2014北京6）若变量x、y满足约束条件x+y-2≥0kx-y+2≥0y≥0，且z=y-x的最小值为-4，则k的值为 。

解法：

1.当k≥0时，如图：z不存在最小值。

2.当k<-1时，如图目标函数在A（0，2）点取最小值，

zmin=2-0=2≠-4。

3.当k=-1时，可行域不存在。

4.当-1综上所述，k=- 。

注：此方法的讨论，主要是因为在约束条件中含参数，所以把含参数不等式对应的直线斜率与另外两不等式对应的直线斜率进行讨论。

二、目标函数中含参

例：设变量x、y满足约束条件3x+y-6≥0x-y-2≤0y-3≤0，且目标函数z=y+ax的最小值是-7，则a的值是 。

分析：此类题较第一类好入手。因为其可行域已知，只需对目标函数进行分析。

目标函数y=-ax+z，其截距越小，z值就越小。

解法：作直线l：y+ax=0，其斜率k=-a，并对其与约束条件中不等式对应的直线斜率进行讨论。

1.当k=-a>1即a<-1，直線l过C（5，3）时，zmin=3+5a=-7则a=-2。

2.当k=-a=1即a=-1，直线l与x-y-2=0重合，zmin=-2≠-7。

3.当0≤-a<0即-1