求解重根的Halley方法收敛半径的再估计

刘素珍，周小建

(1.南通大学;2.如皋高等师范学校)

0 引言

科学计算和工程计算中的许多问题都可以归结为对非线性方程的根的求解.迭代法是求解非线性方程根的最常见数值方法.该文关注的迭代算法是求解方程重根的高阶迭代算法.

所谓x*为非线性方程f(x)=0的m重根是指满足条件f(i)(x*)=0，i=0，1，…，m– 1，但f(m)(x*)≠0.将求解单根的迭代算法用来求解方程的重根时，一个明显的特点是迭代算法的收敛速度大为降低，在理论上表现为收敛阶下降为1.如，最经典的牛顿迭代法二阶收敛域方程的单根，但只能一阶收敛到方程的重根.但其修正形式［1］:

却能二阶收敛到方程的重根.因此，构造出求解非线性方程重根的高阶迭代算法是人们研究的热点之一.在这方面已经有了很多的研究成果.比如，Traub算法［2］，Osada算法［3］以及如下形式的 Halley 算法［4］:

虽然现在人们构造出了越来越多的求解重根的迭代方法，但这些方法都是基于初始值点充分接近问题的真解(方程的根)，几乎没有给出收敛半径的相关信息.直到任红民和Argyros［5］对求解重根的牛顿法(1)的收敛半径进行分析.他们的估计中假设f(x)的m阶导数f(m)满足Hölder条件和中心Hölder条件.他们的研究不仅扩展了 Traub［6］和 Argyros［7］对于单根的结果，而且给出了重根迭代局部收敛性的分析方法.其基本思想可以概括为:

高阶导数→高阶均差→多重积分→积分不等式

基于该思想，周小建等人［8］给出了Osada算法的收敛半径估计式，毕惟红等人［9］在f(m+1)(x)有界及满足Hölder条件下给出了Halley算法(2)的收敛半径估计式.

最近，周小建等人［10］给出另外一种估算收敛半径的另一种思路，其基本思想为:

高阶导数→带有积分余项的泰勒展开式→积分不等式

显然该思路比任红民和Argyros［5］给出的要简单的多.更为重要的是，该思路成功地应用于求解重根的牛顿迭代算法［10］和Osada算法［3］上去，获得了更大的收敛半径估计.因此，将基于这一思路重新估算Halley算法的收敛半径.这里仅仅假设

与文献［9］中的条件相比，这里的条件更弱，因此本文的结论适用性更广.

1 主要结果及证明

首先给出如下具有积分余项的Taylor展开式.

引理1［12］假设 ∀x∈U(x0，r)，r＞0，f(x)为n阶可微，并且f(n)(x)在a到x(x∈U(a，r))可积，则

引理2［11］设x*是方程f的m重根，则有

假设en=xn－x*，有如下重要结论.

定理3 设D⊆R为一非空、开的凸集，f:D→R具有m+1连续导数，x*为函数f(x)的m重根.设r*为如下函数的唯一正根:

那么如果中心Hölder条件(3)成立，则对任意的初始值x0∈U(x*，r*)，由Halley算法生成的迭代序列{xn}至少p+2阶的速度收敛到问题的唯一解x*∈U(x*，R)⊃U(x*，r*)，其中R进一步，误差方程成立.

证明 因为h(0)=1＞0且h(R)=

所以h(r)有一正根r*满足0＜r*＜R.注意到h(r)可以看成rp+1的二次函数，r*是唯一的.

下面将通过数学归纳法来证明主要结论.当n=0时，(2)式化为

根据引理2，得

其中

根据g，g1，g2的定义，借助于Mathematica软件，有

根据Banach定理有

另一方面，由文献［11］中定理3的证明知

又

所以

根据r*的定义，由上述几个不等式及(4)，有

这样知道x1∈U(x*，r*).更进一步，如果x0∈U(x*，r*)，都有

这就是说当n=0时，误差方程成立.如果将上述证明过程中的x0用xk代替，x1用xk+1代替，e0用ek代替，e1用ek+1代替，上述证明过程依然成立.根据数学归纳法，定理3成立.

至于唯一性的证明，其过程完全类似于文献［8］中的唯一性证明，在此不再赘述.

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［12］Stoer J，Bulirsch R.Introduction to numerical analysis［M］.Springer-Verlag.New York，1980.