一类双曲波方程的全离散两步H1－Galerkin混合元误差估计

马 荣

(锦州电视大学)

0 引言

Pani［1］于 1998 年首次提出H1－ Galerkin 混合有限元方法(简称为H1－Galerkin混合元法).相比传统的混合元法能够有效的避免LBB相容性条件的限制，具有空间选取自由等特点.目前该方法已经数值求解了一些偏微方程问题［2－9］.

文献［9］通过一个中间变量的引入将原伪双曲波方程在时间方向上进行了降阶，然后使用了两步格式进行了分析计算.该文主要考虑利用两步H1－Galerkin混合方法研究以下一类非线性双曲波方程

其中Ω为带有边界∂Ω的区域，并于Rn(n=1，2，3)中有界，u0(x)，u1(x)为已知函数，b(x)为足够光滑的有界函数.f(u)是关于u的非线性函数，f(0)=0且f(u)，fu(u)有界.

1 两步混合元格式及误差估计

1.1 弱形式

使用格林公式，β(x)=1/b(x)可得弱形式为:找{u，q}:［0，T］→×H(div;Ω):使得

1.2 全离散格式和一些重要引理

在给定时［0，T］上，令0=t0＜t1…＜tN=T，步长为正整数.另外，对于［0，T］上的一个光滑函数φ，定义φn=φ(tn)dtφn+1=(3φn+1－ 4φn+φn－1)/2Δt.在t=tn+1处(3)可以写为:

相应于(5)的全离散格式为求{Un+1，Qn+1}:Vh×Wh:使得

为了进行误差估计给出以下几个重要引理.

引理1 定义u的投影满足:

引理2 定义q的标准有限元插值，参见文献［1］有:对于j=0，1

将误差改写

则由(5)－(8)得到误差方程:

引理3 对于Rn+1u，Rn+11，Rn+12，Rn+13有下列误差估计:

1.3 全离散两步混合元误差估计

定理1 假设U0，U1∈Vh并且Q0，Q1∈Wh，则对于1 ≤J≤M，j=0，1，有

证明 在式(11)中，令vh=ζn+1，使用Cauchy－Schwarz和Young不等式，可得

对(14)两端同乘以4Δt，并n=1到J求和，同时注意到引理3，可得

在(11)中，令wh=ξn+1，利用Cauchy－Schwarz不等式及Young不等式，得到

使用微分中值定理存在u1和u2，可得

［1］Pani A K.AnH1Galerkin mixed finite element methods for parabolic partial differential equations［J］SIAM J Numer A-nal，1998，35:712–727.

［2］Liu Y，Li H.H1－Galerkin mixed finite element methods for pseudo－ hyperbolic equations［J］.Applied Mathematics and Computation，2009，212(2):446－457.

［3］Zhou Z J.AnH1－Galerkin mixed finite element methods for a class of heat transport equations［J］.Appl Math Model，2010，34:2414－2425.

［4］刘洋，李宏.四阶强阻尼波方程的新混合元方法［J］.计算数学，2010，32(2):157–170.

［5］Guo L，Chen H Z.H1－Galerkin mixed finite element method for Sobolev equations［J］.J Sys Sci Math Scis，2006，26(3):301－314.

［6］Shi D Y，Wang H H.NonconformingH1－Galerkin mixed FEM for Sobolev equations on anisotropicmeshes［J］.Acta Mathematicae Applicatae Sinica(English Series)，2009，25(2):335－344.

［7］Liu H，Li H，He S，et al.A new mixed scheme based on variation of constants for Sobolev equation with nonlinear convection term［J］.Appl Math J Chinese Univ，2013，28(2):158－172.

［8］Liu Y，Li H，Wang J F.Error estimates ofH1－ Galerkin mixed finite element method for Schrodinger equation［J］.Appl Math J Chinese Univ，2009，24(1):83－89.

［9］Zhang G Y，Huang L J，Yu Z D，et al.A priori error analysis and numerical simulation of fully discreteH1－Galerkin mixed element method for nonlinear pseudo－hyperbolic equation［J］.American Journal of Numerical Analysis，2014，2(2):55–59，158–172.