Ritz法解决一类二阶常微分方程

符艳丽，么焕民

(哈尔滨师范大学)

0 引言

二阶常微分方程广泛应用于现实生活及科学工程等各种领域，近年来，更多的被投入到试图寻找微分方程的有效方法上，如，再生核方法［1－2］，变分法、有限元法和外推法［3］，配置法［4］及各种改进的配置法［5］.特别地，对于配置法，常常选取多项式作为基函数［4］，而针对基函数的选取的不同，解的精确程度也不同.

该文针对一类二阶微分方程的边值问题提出一种Ritz法，并采取不同个数的基函数来说明基函数选取的不同，精确度也会不同，通过数值算例，就可以看出这种比较的优势所在.

1 Ritz法解决常微分方程问题

该文针对以下的常微分边值问题给出一种Ritz法，

其中a(x)＞0，b(x)≥0且a(x)∈C1［a，b］，b(x)∈C［a，b］.

定义1.1 定义集合［a，b］={f(x)|f(x)∈C2［a，b］，f(a)=f(b)=0}，即将所有在［a，b］在上有二阶连续导数且在两端点为零的函数的集合定义为［a，b］.

定义 1.2 定义内积〈u(x)，v(x)〉 =

定理1.1 假设u0(x)是方程(1)的解，则u0(x)使泛函R［u(x)］取最小值R［u0(x)］，反之，若u0(x)∈［a，b］使泛函R［u(x)］取最小值R［u0(x)］，则u0(x)是方程(1)的解，其中

证明 (1)设u0(x)是方程(1)的解，∀v(x)∈［a，b］，所以

由(3)得

由(1)可知，若v(x)不恒为 0，则(见文献［3］)，这意味着只要u(x)不恒等于v(x)，那么

即R［u(x)］在方程(1)下的解u0(x)上达到最小值R［u0(x)］.

(2)假设泛函R［u(x)］在u0(x)上达到最小值R［u0(x)］，对∀v(x)∈［a，b］，∀λ∈R，有R［u0(x)+λv(x)］=R［u0(x)］+

当u0(x)及v(x)固定时，此时上式的后半部分为λ的函数，记为Ψ(λ)，即

由已知ψ(λ)=aλ2+bλ+c≥0，则Δ=b2–4ac≤0，即b=0.由分部积分有恒成立，那么

即u0(x)是方程(1)的解(见文献［3］)，证毕.

可以把R［un(x)］看成是ai的函数，即此时的ai使R［un(x)］=F(a1，a2，…，an)取最小值.

由于F(a1，a2，…，an)是二次函数，所以此时的最小值就是极小值，令n)，得

这是以ai(i=1，2，…，n)为变量的n维线性方程组CA=B，解(6)就可以表示出un(x).

下面做一些记号:

由文献［2－3］可知方程(1)有唯一解，同时由Ritz法得到的极小化序列{un(x)}平方收敛于方程(1)的精确解u(x).

2 数值算例

令方程(1)中的a(x)=b(x)=1，f(x)=–x－1，即求函数u(x)∈C2［0，1］，使它满足

此方程的精确解为

接下来用Ritz法求(7)的近似解un(x)，以资比较，令φi(x)=xi(1–x)(i=1，2，3，4)，显然φi(0)=φi(1)=0，且φi(x)∈C20［a，b］(i=1，2，3，4)，线性无关，可作为基函数，同时

所以，此时得到线性方程组

解此方程组得出a1，a2，a3，a4，从而得到近似解

试选点x［0，1］，求得u1.37966×10－6.

现在对［0，1］取十等分点xi=0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9，1(i=1，2，…，10)，分别求出近似值u4(x)和准确值u(x)，及误差Δu4(x)并作比较，如表1所示.

表1

由表1可以看出近似解的误差Δu4(xi)=u(xi)－u4(xi)，(i=1，2，…，10)已经达到10－7，但文中只取了4个基函数，用同样的方法可以取更多的基函数来作比较，不难得到收敛速度越来越快的结论.

3 关于Ritz法的几点说明

(1)使用Ritz法时，对于基函数的选取没有一定的标准，即针对不同的方程如何选择基函数才能使误差最小，收敛速度最快，通常情况下多项式函数是首选，并筛选出最合适的基函数.

(2)使用Ritz法时，即使使用相同的基函数当方程(1)中的f(x)不同时，收敛速度也会不同.

(3)使用Ritz法时，基函数的种类、光滑性、个数不同时，通过文中的研究可以看出方程(1)中近似解与精确解的收敛速度也会不同.

所以，针对不同的方程模型，应该随机应变地找出合适的基函数，这是完善Ritz法所要做的必要工作，还需要进一步研究.

［1］Li X Y，Wu B Y.Error estimation for the reproducing kernel method to solve linear boundary value problems［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics，2013，243:10–15.

［2］吴勃英，林迎珍.应用型再生核空间［M］.北京:科学出版社，2012.

［3］刘诗俊，变分法有限元法和外推法［M］，北京:中国铁道出版社，1984:64－79.

［4］Russell R D，Shampine L F.A collocation method for boundary value problems［J］.Numerische Mathematic，1972，19:1－28.

［5］Mehdi Dehghan，Ahmad Nikpour.Numerical solution of the system of second－order boundary value problems using the local radial basis functions based differential quadrature collocation method［J］.Applied Mathematical Modelling，2013，37:8578－8599.