一个带Logistic源的吸引-排斥趋化模型的定性分析

王　云, 刘冬梅

(东华大学 a. 理学院; b. 信息科学与技术学院, 上海 201620)

一个带Logistic源的吸引-排斥趋化模型的定性分析

王云a, 刘冬梅b

(东华大学 a. 理学院; b. 信息科学与技术学院, 上海 201620)

利用先验估计技巧, 证明了一个带Logistic源的吸引-排斥趋化模型整体解的存在性和有界性. 进一步, 在初始细胞密度有正下界和Logistic阻尼系数充分大的假设之下,当时间趋于无穷大时, 证明了该模型解在L2(Ω)意义下收敛到非零常数静止解.

趋化性; 吸引; 排斥; 有界性; 收敛性

趋化性(chemotaxis)是指细胞由信号浓度变化而引起的偏向运动. 趋化吸引是指细胞朝信号浓度增大的地方迁移, 而趋化排斥是指细胞朝远离信号浓度增大的地方运动. 经典的趋化模型[1]由Keller-Segel在1970年提出, 该模型是刻画细胞的趋化吸引现象, 在数学上它也已被进行广泛而深入的研究[2-3]. 该模型有一个显著特点, 即其解有可能在有限时间内爆破. 然而, 在现实生活中, 趋化吸引和排斥现象同时存在, 从而产生有趣的生物斑图[4-5].

因此, 本文考虑如下的吸引-排斥趋化模型：

(1)

这里Ω⊂Rn(n≥2)是一个有界光滑区域; χ, ξ, μ, α, β, γ和δ均为给定的正常数. u=u(x,t), v=v(x, t), w=w(x, t),其中, u表示细胞密度, v表示由细胞分泌的吸引同伴的化学物质浓度, w表示由细胞分泌的排斥同伴的化学物质浓度. 模型(1)中第一个方程表明: 除随机运动外, 细胞的运动同时受到吸引和排斥两种机制的影响; 另外, 细胞的出生和死亡满足Logistic定律. 由于化学物质浓度的扩散率远比细胞的扩散率大, 因此, 在模型(1)中的第二个和第三个方程中, 用拟稳态方程来逼近化学浓度的反应-扩散过程. 模型(1)中的第二、三个方程分别表示趋化吸引和趋化排斥化学物质由细胞自身分泌, 且该化学物质经历衰减.模型(1)中, 假设u,v,w满足零流边界条件, 即假设在边界处细胞和两种化学物质的净流量为零.

在μ=0及ξ γ-χ α>0(即“排斥强于吸引”)的假设下, 文献[6]研究了模型(1)的整体解的存在性和收敛性. 而本文在假设μ>0及χ α-ξ γ>0(即“吸引强于排斥”)之下, 研究模型(1)的整体解存在性、有界性和渐近性.

首先有如下的关于整体解的存在性和有界性的结论.

(2)

尤其, 当n=2时, μ>0即可.

进一步, 如果初始细胞密度有正下界, 将证明模型(1)的解在L2(Ω)意义下收敛到非零常数稳态解.

ε≤u0≤A,

(3)

就存在常数C>0, 使得模型(1)的解具有下列性质: 对所有的t>0, 成立

‖u(·,t)-1‖L2(Ω)≤Ce-λt,

(4)

(5)

(6)

本文中μ*的精确值是未知的, 可能不需要μ足够大.

1　整体解的存在性及定理1的证明

类似于古典的趋化模型的局部可解性[6-8], 有引理1.1关于模型(1)的局部可解性结论(其证明与文献[6]类似, 故在此略去).

进一步, 如果Tmax<∞, 则

(7)

接下来, 推导基本的质量估计.

引理1.2模型(1)的古典解(u,v,w)有如下性质:

t∈(0,Tmax),

(8)

(9)

(10)

证明：模型(1)中第一个方程的两边在Ω上积分, 并利用分部积分, 模型(1)中的零流边界条件及Hölder不等式可得

(11)

根据式(11)并由常微分方程的比较原理, 推得式(8). 模型(1)中第二个方程的两边在Ω上积分, 并利用式(8), 推得式(9). 同理, 证得式(10).

引理1.2得证.

建立解的Lp先验估计.

∫Ωupdx≤C,t∈(0,Tmax),

(12)

其中C>0为常数.

证明：利用模型(1)中的方程, 直接计算得

-(p-1)∫Ωup-2|▽u|2+χ(p-1)∫Ωup-1▽u·▽v-ξ(p-1)∫Ωup-1▽u·▽w+μ∫Ωup-μ∫Ωup+1=

μ∫Ωup-μ∫Ωup+1=

t∈(0,Tmax).

(13)

因为u≥0, v≥0, 所以

(14)

从而由式(2), 有

(p-1)ξδ∫Ωupw+μp∫Ωup,

t∈(0,Tmax).

(15)

再来估计式(15)中的最后两个积分. 事实上, 由Young不等式知

c1∫Ωwp+1,t∈(0,Tmax),

(16)

其中c1>0为常数. 类似地,

(17)

其中c2>0为常数.

由式(15)～(17), 推得

c1∫Ωwp+1+c2,t∈(0,Tmax).

(18)

下面再来估计式(18)中的积分∫Ωwp+1. 由标准的椭圆Lp-估计[9-10]知: 存在某个常数c3>0, 使得

‖w(·,t)‖W2,p(Ω)≤c3‖u(·,t)‖Lp(Ω),

t∈(0,Tmax).

(19)

再根据Gagliardo-Nirenberg不等式, 并由式(19)和(10), 推得某两个常数c4>0和c5>0使得

(20)

其中

(p+1)a

(21)

从而, 用Young不等式进一步估计

c5∫Ωup+2c5≤

(22)

其中c6>0为常数. 综合式(18)和(22)得到

(23)

其中c7:=c2+c6.再在式(23)的两边加上∫Ωup得

t∈(0,Tmax).

(24)

再由Young不等式推得

(25)

结合式(24)和(25)得

(26)

其中c9:=c7+c8.由式(26)进一步推得

∫Ωup≤c10:=∫Ωu0p+c9,t∈(0,Tmax).

(27)

引理1.3得证.

定理1的证明由引理1. 3及著名的Moser-Alikakos迭代技巧[11-12]可以得到: 在式(2)假设之下, 存在某个常数c1>0使得

‖u(·,t)‖L∞(Ω)≤c1,t∈(0,Tmax).

(28)

因此, 定理1的结论是先验估计式(28)、引理1. 1和可延拓准则(7)的直接推论.

2　解的收敛性以及定理2的证明

引理2.1假设χ α-ξ γ>0且μ>χ α-ξ γ, 则存在常数L>0, 使得

‖u(·,t)‖L∞(Ω)≤L,t∈(0,Tmax),

(29)

(30)

(31)

证明:由式(28)即可得式(29), 再由式(29)和椭圆最大值原理推得式(30)和(31).

引理2.1得证.

(32)

证明: 用反证法. 假设式(32)不成立, 则存在第一个t*>0和某个x*∈Ω, 使得从而, 根据t*的定义知: 当x∈Ω, 0

ut(x*,t*)≤0, ▽u(x*,t*)=0,Δu(x*,t*)≥0.

所以, 在(x*,t*)处, 有

ut-Δu+χ▽u·▽v-ξ▽u·▽w≤0.

(33)

另一方面, 由模型(1)中的第一个方程、式(30)及(x*,t*)的定义, 并注意到χ α-ξ γ>0, u≥0, w≥0及ε∈(0,1)，可知在(x*,t*)处, 有

ut-Δu+χ▽u·▽v-ξ▽u·▽w=

(χ α-ξ γ)u2+ξδuw+μ u-μ u2-χβuv≥

μ u-μ u2-χβuv≥

ut-Δu+χ▽u·v-ξ▽u·▽w≥

引理2. 2得证.

引理 2.3模型(1)的任一古典解具有下列性质:

(34)

(35)

(36)

(37)

证明由模型(1)的第二个方程可得:

(38)

(39)

再由Young不等式可得：

(40)

因此,

(41)

据此可推得式(34)和(36). 同理可证得式(35)和(37).

引理2.3得证.

(42)

对式(42)的两边关于x在Ω上积分, 并利用柯西不等式及式(29)和(32)可得:

ξ∫Ωu▽u·▽w-μ∫Ωu(u-1)2≤

再利用式(34)和(35)可得

(43)

(44)

(45)

再积分之, 推得: 对任意的t>0, 成立

∫Ω(u-1)2≤e-2λt∫Ω(u0-1)2,

(46)

即对任意的t>0, 成立

‖u(·,t)-1‖L2(Ω)≤‖u0-1‖L2(Ω)·e-λt.

因此式(4)成立, 据此及式(36)和(37)推知式(5)和(6)成立.

[1] KELLER E F, SEGEL L A. Initiation of slime mold aggregation viewed as an instability[J]. J Theor Biol, 1970, 26(3): 399-415.

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Qualitative Analysis of an Attractive-Repulsive Chemotaxis Model with Logistic Source

WANGYuna,LIUDong-meib

(a.College of Science; b. College of Information Science and Technology, Donghua University, Shanghai 201620, China)

The global existence and boundedness of solutions to an attractive-repulsive chemotaxis model with Logistic source is proven via a priori estimate techniques. Moreover, under the assumptions that the initial cell density possesses a positive lower bound and that the coefficient of Logistic dampening is sufficiently large, it is shown that the global solution converges to the non-trivial constant stationary solution in L2(Ω) as time goes to infinity.

chemotaxis; attraction; repulsion; boundedness; convergence

1671-0444(2015)03-0409-06

2014-03-21

王云(1989—)，女，安徽岳西人，硕士研究生，研究方向为偏微分方程.E-mail: 1057339219@qq.com

O 175.26

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