高婷梅
(陕西理工学院 数学与计算机科学学院,陕西 汉中 723000)
一类p-拉普拉斯Neumann问题正解的存在性
高婷梅
(陕西理工学院 数学与计算机科学学院,陕西 汉中 723000)
利用极小极大原理,证明了一类 p-拉普拉斯Neumann问题正解的存在性.
极小极大原理;Neumann问题;正解
本文考虑如下 p-拉普拉斯Neumann问题:其中Δpu是 p-拉普拉斯算子且 p>1,Ω是RN中具有C2边界的有界区域,n(x)是x∈∂Ω处的外法向单位向量,λ>0是参数.
当λ=1时,方程(1)被进行了广泛的研究,并得出了很多有趣的结论[1-5]. 文献[1]中,作者利用了上下解的方法,文献[2-3]中,作者利用了Landesman-Lazer条件,文献[4]对强共振问题进行了讨论,文献[5]应用极小极大原理得到了方程(1)的非平凡解.本文将λ=1推广到一般的λ>0,不仅可以得到方程(1)的非平凡解,而且还将证明方程(1)存在正解.
本文的主要结果如下:
(f1)f(x,0)=0且∀t≠0,f(x,t)t>0;(f2)∀r>0,∃ar∈L∞(Ω)+,st:∀ ||t≤r,||f(x,t)≤ar(x)a.e.x∈Ω;
(f5)∃δ>0,q∈(1,p)及C>0,st:∀ ||t≤δ,F(x,t)≥C||tqa.e.x∈Ω一致成立.则对每一个λ>0,方程(1)至少存在一个正解.
引理1假设函数 f(x,t)满足(f1)-(f5),则Iλ(u)满足C条件.
于是由法都引理,有
然而,由(2)式可知,
且有
由(7)式可得,
所以,由(6),(8)及λ>0,可推出
由Sobolev紧嵌入及必标准化过程,可知存在u∈W1,p(Ω)及的子序列(仍记为),使得un→u(n→∞)在W1,p(Ω)中,即Iλ(u)满足C条件.
引理2假设函数 f(x,t)满足(f1)-(f5),则当||t→+∞(t∈R)时,Iλ(t)→-∞.
则由引理2和引理3,∃τ0>0,st:
则有以下结论:
引理4[5]假设函数 f(x,t)满足(f1)-(f5),则{C0,C} 和D在W1,p(Ω)中是局部环绕的.
类似地,
由γ1,γ2,γ3的定义以及(14),(15),(16)式,∃γ*∈Γ,st:Iλ|γ*
<0.于是,结合(f1),∃γ*∈Γ,st:
因为u0≠0是Iλ(u)的临界点,则A(u0)=λf(x,u0),再利用非线性格林不等式,可得
所以,u0≠0是方程(1)的解.由正则性理论[6],u0∈
因为条件(f1)成立,则有
[1]Alif M,Omari P.On ap-Laplician Neumann problem with asymptotically perturbations[J].Nonlinear Anal,2002,51(3): 369-389.
[2]Arcoya D,Orsina L.Landesmann-Lazer conditions and quasilinear elliptic equations[J].Nonlinear Anal,1997,28(10):1623-1632.
[3]Papalini F.A quasilinear Neumann problem with discontinuous nonlinearity[J].Mathematische Nachrichten,2003,250(1):82-97.
[4]Filippakis M,Gasinski L,Papageorgiou N S.Multiplicity results for nonlinear Neumann problems[J].Canadian Journal of Mathemat⁃ics,2006,58(1):64-92.
[5]Gasiński L,Papageorgiou N S.Nontrivial solutions for a class of resonantp-Laplician Neumann problems[J].Nonlinear Anal, 2009,71(12):6365-6372.
[6]Gasinski L,Papageorgiou N S.Nonsmooth critical point theory and nonlinear boundary value problems[M].Boca Raton:chapmanand Hall,CRC Press,2004.
[7]Aizicovici S,Papageorgiou N S,Staicu V.The spectrum and index formula for the Neumannp-Laplician and multiple solutions for problems with crossing nonlinearity[J].Discrete Contin Dyn Syst,2009,25(2):431-456.
[8]Vázquez J L.A strong maximum principle for some quasilinear elliptic equations[J].Applied Mathematics and Optimization,1984, 12(1):191-202.
Existence Result on Positive Solution for a Class ofp-Laplacian Neumann Problems
GAO Ting-mei
(School of Mathematics and Computer Science,Shaanxi University of Technology,Hanzhong 723000,China)
Using the minimax principle,the author of this paper obtained a positive solution for a class ofp-Laplacian Neumann problems.
minimax principle;Neumann problems;positive solution
177.91
A
1008-2794(2015)02-0091-05
2014-02-25
通讯联系人:高婷梅,助教,硕士,研究方向:非线性泛函分析,E-mail:gtmgtmgtm@126.com.