基于改进Kalman滤波算法的多模型融合建模方法

朱鹏飞，夏陆岳，潘海天

（浙江工业大学化学工程学院,浙江 杭州 310032）

引 言

随着化学工业的飞速发展，现代化工过程对产品质量指标及系统状态的估计性能要求越来越高，但由于存在经济、技术等诸多因素，导致难以有效实现这些质量指标或系统状态的在线实时检测。采用软测量技术建立精确可靠的预测模型，是实现化工过程产品质量指标或系统状态在线实时预测的一种较为可行的解决方法。

国内外相关研究者提出了多种软测量建模方法，这些方法都有其各自的优势与局限[1]。针对具体工业对象选择建模，必须结合实际对象特性，才能建立具有可靠预测性能的软测量模型。许多化工过程具有时变、非线性等特性，而且建模过程易受采样数据不准确、工作点漂移等诸多因素的影响，导致单一软测量模型在测量精度、泛化性能和稳定性等方面存在不足，难以准确描述具体对象的局部和全局特性。针对上述情况，一些研究者提出了混合建模、模型校正等处理方法。其中混合建模方法是将机理模型、经验模型等多种形式的模型以并联或串联方式结合，充分利用机理建模和经验建模等方法各自的优势，可获得更好的精度与泛化性能，适用于过程机理十分复杂的对象[2-4]；模型校正方法是利用最新采集的观测数据对原模型的参数或输出进行校正，使模型得到实时更新，由于跟踪了对象的最新动态特性，预测效果较为稳定，适用于训练样本小及动态特性复杂的对象[5-7]。

本研究汲取了混合建模和模型校正的先进思想，提出了一种基于改进Kalman 滤波算法的多模型融合建模方法。对经典Kalman 滤波算法进行改进，使其适用于非线性化工过程，将机理模型和数据驱动模型的输出在线融合，组成混合模型。采用二次滤波、方差更新对混合模型的输出及参数进行在线校正，优化混合模型的估计性能。将该多模型融合建模方法应用于氯乙烯聚合过程聚合速率的软测量研究中，应用结果表明该建模方法能有效提高软测量模型的预测精度和稳定性。

1 多模型融合建模方法设计

对于同一化工过程软测量问题，可采用不同建模方法建立多种软测量模型，若仅根据预测效果优劣取舍，会丢失一些过程的有用信息。许多化工过程常存在不断变化且难以精确描述的随机外部扰动，导致软测量模型的输出存在波动，而单一软测量模型的抗干扰性较差，存在模型失配的风险。实现多种软测量模型的有效融合，可充分利用各种数据样本信息，从而达到改善软测量模型预测精度与稳定性的目的[8]。

基于上述设计思想，本研究提出一种多模型融合的混合建模方法。利用多个不同类型的软测量模型提供的信息交叉互补，采用多模型融合技术进行融合处理，最终形成统一的估计目标。其模型结构如图1所示，图中X1、X2分别表示数据驱动模型和机理模型的输入，Yd、Ym、Yf分别表示数据驱动模型、机理模型、混合模型的输出。

图1 基于多模型融合的混合模型结构Fig.1 Diagram of hybrid model based on multi-model fusion

该混合模型采用并联型结构，采用融合技术有效融合机理模型和数据驱动模型的输出，从而建立混合模型，其中融合技术是影响混合模型预测性能的关键因素。常规融合技术是将多个子模型的输出值进行线性加权组合，一般以组合模型预测误差极小化为优化准则对权重系数进行离线调整，但难以适用具有时变特性且工艺参数波动较大的化工过程。本研究针对常规融合技术存在的不足对经典Kalman 滤波算法进行改进，在基于最优估计的Kalman 滤波算法递推框架下实现机理模型和数据驱动模型输出的融合，并将其应用于非线性化工过程软测量建模研究中。

2 混合核函数主元分析-神经网络（K2PCA-ANN）

根据化工过程的非线性特点，采用合理的非线性数据驱动建模方法是保证混合模型性能的先决条件。在数据驱动模型建模过程中，模型结构是影响数据驱动模型预测性能的重要因素，若模型的输入变量较多，虽然保证了信息的完整性，但会造成模型结构复杂、泛化性能降低与预测精度较差等不足，因此在尽量保留系统有效信息的前提下简化模型结构具有积极意义。

2.1 混合核函数主元分析

核函数主元分析是一种有效的非线性系统数据挖掘方法。通过核函数把低维线性不可分的数据映射到高维空间，使之成为线性可分数据，再利用主元分析将高维的核空间数据变换成低维的特征主元变量，从而最大限度地简化系统结构，并确保有效信息的完整性[9-11]。

混合核函数通过将不同类型的核函数结合，可显著提高核函数性能[12]。将具有局部特性的径向基核函数Krbf与具有全局特性的多项式核函数Kpoly加权组合成混合核函数，其具体计算公式为

式中，ρ表示权重系数。通过改变参数ρ可对混合核函数的局部与全局特性进行调整。

Krbf和Kpoly核函数的数学表达式分别如下

式(2)和式(3)中，σ表示RBF 核函数的宽度，c、d分别表示多项式核函数的参数项和阶数。

K2PCA 算法的具体实施流程如下：

（2）对核函数矩阵按列零均值化，得到；

（3）按主元分析提取特征主元的一般化方法，得到的q个特征向量t=(t1,…,tq)；

其中，训练数据的核函数矩阵K和测试数据的核函数矩阵Kt按列零均值化方法如下

2.2 K2PCA-ANN 模型

图2 K2PCA-ANN 模型结构Fig.2 Structure of K2PCA-ANN model

人工神经网络是一种有效的非线性智能建模 方法[13]。将混合核函数主元分析（K2PCA）和神经网络（ANN）相结合，建立了一种基于K2PCA-ANN的数据驱动建模方法。该建模方法在不损失系统有效信息的前提下充分利用K2PCA 和ANN 各自的优势，K2PCA 提取系统输入的主元变量，ANN 逼近主元变量与目标变量之间的非线性映射关系[14]。K2PCA-ANN 模型结构如图2所示，将K2PCA 降维后的主元作为BP 神经网络的输入，样本数据输出作为BP 神经网络的输出，从而建立K2PCA-ANN模型。

3 基于改进Kalman 滤波算法的多模型融合

3.1 改进Kalman 滤波算法

经典Kalman 滤波算法采取递归方式解决离散数据的线性滤波问题，使用过程方程和量测方程描述系统。

过程方程和量测方程的表达式分别为

式(6)和式(7)中，t表示时刻，Y表示系统状态变量，A表示过程增益，B表示控制输入增益，U表示控制输入，Z表示测量变量，H表示状态变量对测量变量的增益，ω和υ分别表示过程噪声和测量噪声，与其对应的方差分别为W和V。

系统状态先验估计方程的表达式为

由式(8)可知，根据上一时刻系统状态 1tY-和控制输入 1tU-可得到当前时刻的系统状态预测值c,tY。

当系统为非线性或控制输入U对状态变量Y的影响为非线性时，A、B或为时变参数，增加了参数辨识的复杂程度。对此，一些研究者提出了多种改进方法，如扩展Kalman 滤波（EKF）[15]、无迹Kalman 滤波（UKF）[16-17]等，改进系统状态先验估计方程，使其能用于系统状态的非线性预测。然而，上述改进方法不仅计算量较大，而且依赖严格精确的系统状态模型，导致无法适用于系统状态模型未知的对象。

结合经典Kalman 滤波算法的设计原理，将数据驱动模型应用于系统状态的非线性预测中。利用前后时刻数据驱动模型输出值的偏差估计系统状态值的变化，避免了状态估计方程中参数A、B的在线辨识困难，突破了经典Kalman 滤波算法对状态方程的限制。

基于上述设计思想，改进后的系统状态先验估计方程如下

式中，Yf,t-1表示t-1 时刻混合模型的输出值，Yd,t-Yd,t-1表示基于数据驱动模型的系统状态预测值在t时刻相对t-1 时刻的变化量。将改进后的Kalman 滤波算法用于多模型融合技术研究中。

3.2 多模型融合

根据化工过程软测量模型的特点，提出以下两点假设：①机理模型具有较好的泛化性能，模型输出值在系统真值附近波动；②因训练样本不足，数据驱动模型可能在真值附近发生偏移，但能把握系统的变化趋势。

将数据驱动模型和机理模型分别应用于改进Kalman 滤波算法的过程方程和量测方程中，对应模型的输出分别为预测值和测量值，过程方程和量测方程分别如下

测量值与状态值为同一个变量，因此H=1。因此，可以利用经典Kalman 滤波算法的方程进行递推估计。

改进Kalman 滤波算法的时间更新方程为

改进Kalman 滤波算法的状态更新方程为

式(12)～式(16)中，P表示过程估计的协方差，K表示Kalman 滤波算法增益，Yh表示Kalman 滤波算法的最优估计值。基于改进Kalman 滤波算法的多模型融合建模方法流程如图3所示。

在Kalman 滤波算法的递推框架下，系统状态预测值Yc和机理模型预测值Ym按其预测的精度（W和V）自动在线调整权重（1K-和K），进行组合 预测得到Yh。最终实现了数据驱动模型和机理模型的预测融合，Yh即为融合输出值。

图3 基于改进Kalman 滤波算法的多模型融合建模方法Fig.3 Multi-model fusion modeling method based on improved Kalman filtering algorithm

3.3 模型校正

采用改进Kalman 滤波算法实现数据驱动模型与机理模型的融合，虽然在一定程度上减弱了系统输入测量噪声对模型性能的影响，但仍无法完全去除，因此可对混合模型的融合输出值Yh再进行相关处理，使得处理后的融合模型最终输出值Yf更接近真值。

可采用线性滑动平滑作为二次滤波方法，该方法基于移动窗原理，适用于非线性过程的滤波处理。与常规移动平均法相比，还可避免滤噪带来的滞后问题。

基于线性滑动平滑的二次滤波计算公式如下

式(17)～式(20)中，Linefit 表示线性拟合，a、b分别表示线性拟合的参数——斜率、截距。

Kalman 滤波算法的应用要求已知系统噪声特性的先验知识，即已知过程方程与量测方程的方差W、V，这一般可通过离线采样分析得到。然而，化工过程系统具有受随机干扰的不可预测性，导致软测量模型的预测性能会在过程不同阶段发生波动。若W、V保持为常数，将不利于Kalman 滤波算法的局部估计性能达到最佳。对此，可采用移动窗技术，在进行递推滤波的同时在线估计W、V，并校正模型参数P、K，从而提高滤波精度。

设窗口长度为n，t时刻更新W和V的具体计算公式分别如式(21)和式(22)所示

首先根据式(17)～式(20)在线修正模型输出，然后根据式(13)和式(14)、式(21)和式(22)在线自适应校正混合模型参数，最终达到使混合模型的估计性能尽可能最优的目的。

4 应用研究

通过采集现场工艺变量数据，采用软测量技术实现聚合速率在线估计，可以进一步估算聚合反应过程的转化率，从而实时掌握聚合过程进度和控制反应终点，并为聚合反应过程的控制、优化等相关研究提供基础条件[18-19]。以某厂30 m3聚氯乙烯生产装置为研究对象，开展聚合速率软测量研究。

4.1 氯乙烯聚合过程聚合速率混合建模

4.1.1 K2PCA-ANN 模型 根据氯乙烯悬浮聚合过程的工艺特点，聚合速率数据驱动模型的输入变量为：聚合时间T、釜内压力P、聚合温度Tr、夹套冷却水进口温度TJi、夹套冷却水出口温度TJo、夹套冷却水流量FJ、中间注水温度Tin和中间注水流量Fw；聚合速率数据驱动模型的输出变量为聚合速率。在K2PCA-ANN 建模前进行数据标准化等预 处理。K2PCA 算法的参数设置如下：多项式核函数的参数项c=1，阶数d=1；RBF 核函数的宽度σ=5；PCA 累计贡献率的提取效率p=0.90。主元累计贡献率的具体内容见表1。由表1可知，输入样本数据经过 K2PCA 处理后，共提取了4 个主元。

表1 主元累计贡献率Table 1 Accumulative contribution rate of principal component

在建立K2PCA-ANN 聚合速率预测模型过程中，BP 神经网络的具体参数设置如下：网络拓扑结构为4×4×1，隐含层为logsig 型函数，输出层为purelin 型函数，采用Levenberg-Marquardt 训练方法。

选取一组测试数据（测试数据1），通过改变混合核函数权重系数ρ对模型预测精度进行比较，以确定最佳的权重系数ρ。具体比较结果见表2，其中MAPE、MRE 分别表示平均绝对百分比误差和最大相对误差。由表2可知，权重系数ρ选择0.7 为佳，表示局部核函数在建模过程中占主要作用。

表2 不同ρ 的K2PCA-ANN 聚合速率模型预测性能比较Table 2 Comparison of performance of K2PCA-ANN with different ρ

4.1.2 热力学机理模型 量热法是通过对热平衡参数（如流量、温度等）进行在线测量，基于聚合反应器的热平衡模型计算得到反应热，从而进一步估算出聚合速率[20-21]。

氯乙烯聚合过程为放热反应。对聚合反应釜进行热量传递平衡分析，可以得到聚合釜与冷却水夹套之间的热平衡方程、夹套内的热平衡方程分别如下

其中，Qr表示反应放出的热量，Qwall表示釜壁向冷却水夹套传递的热量，QlossW表示中间注水移走的热量，QlossJ表示夹套冷却水移走的热量，QaccuR、QaccuJ分别表示聚合釜内和夹套内的热累积。由于聚合过程温度控制平稳且夹套冷却水温度变幅小，因此可忽略夹套冷却水和聚合釜内的热累积变化。

根据式(23)和式(24)，可建立氯乙烯悬浮聚合过程聚合速率模型

4.1.3 混合模型 将氯乙烯聚合过程热力学机理模型的输出Ym和K2PCA-ANN 数据驱动模型的输出Yd，采用式(12)～式(22)进行递推计算，得到融合模型的最终输出Yf。由离线分析获得的知识，设置初始的W=0.1、V=1.2、P=0，方差更新的移动窗口和线性平滑滤波的滑动窗口长度均为5，若数据点未到设定窗口长度则按已有数据长度进行。

4.2 聚合速率预测结果

热力学机理模型和K2PCA-ANN 模型的预测结果（测试数据1）如图4所示。由图4可知，两种模型都能大致反映出聚合速率的变化趋势，但K2PCA-ANN 模型的预测性能更佳。在聚合反应过 程的前期与后期，聚合速率变化较大，工艺变量的频繁波动导致其测量值带有较多噪声，而K2PCA 在提取主元过程中滤除了部分噪声，因此K2PCA-ANN模型的聚合速率预测曲线较平滑。

图4 热力学机理模型和K2PCA-ANN 模型的 预测结果（测试数据1）Fig.4 Predictions of thermodynamic model and K2PCA-ANN model (test data 1)

为了比较说明热力学机理模型和K2PCA-ANN模型的泛化能力，选用了另一组测试数据（测试数据2），两种模型的预测效果如图5所示。由图5可知，热力学机理模型的预测性能未发生明显变化，而K2PCA-ANN 模型的预测值则发生了偏移，这是由于生产条件或操作区域偏离训练样本数据范围时K2PCA-ANN 模型未进行有效学习，导致其泛化能力变差。

对图4和图5进行比较可知，热力学机理模型的预测值在真实值附近波动，因此可通过滤波处理改善其预测稳定性。采用基于改进Kalman 滤波算法的多模型融合建模方法建立聚合速率混合模型，该模型的聚合速率预测结果（模型校正处理前后）如图6所示。

图5 热力学机理模型和K2PCA-ANN 模型的 预测结果（测试数据2）Fig.5 Predictions of thermodynamic model and K2PCA-ANN model (test data 2)

图6 经模型校正处理前后的混合模型预测 结果（测试数据2）Fig.6 Predictions of hybrid model with smoothening-filtering method or not (test data 2)

对图5和图6进行比较可知，与单一的热力学机理模型或K2PCA-ANN 模型相比，混合模型由于利用机理模型和数据驱动模型各自的特点进行了互补修正，预测值的波动幅度减小，预测准确性得到了提高。经过模型校正处理后，修正了混合模型输出，并优化了Kalman 滤波算法参数，预测稳定性得到了进一步提升，能够准确反映氯乙烯聚合过程聚合速率的变化趋势。

4.3 模型性能指标比较

为定量衡量各种模型（图5和图6）的预测性能，采用MAPE（平均绝对预测误差）、MRE（最大相对误差）和MSE（均方根误差）作为预测性能指标。4 种聚合速率预测模型的性能指标数据见表3，表中 a ～d 分别表示热力学机理模型、K2PCA-ANN 模型、混合模型、混合模型+模型校正。

表3 4 种聚合速率预测模型的预测性能比较Table 3 Performance comparison of four polymerization rate models

由表3可知，混合模型具有更好的预测精度，相应的MAPE、MRE 和MSE 指标数值明显改善，体现了多模型融合预测的优势。经过模型校正处理后的混合模型泛化能力和鲁棒性较好，能够适应氯乙烯聚合过程工作点较宽的实际工艺状况，进行有效预测。

5 结 论

针对聚合物生产过程单一软测量模型存在的

预测效果不稳定问题，提出了一种多模型融合建模方法。在基于最优估计的Kalman 滤波算法的递推框架下，将机理模型和数据驱动模型有效融合，构成混合模型，并协调二次滤波和方差更新对混合模型的输出及参数在线校正，与单一软测量模型相比有效减少了随机因素的影响，增强了模型预测的稳定性。氯乙烯聚合过程聚合速率软测量的应用结果表明，采用该建模方法建立的混合模型具有优良的预测性能，具有在聚合物生产过程优化与控制的研究中进一步推广应用的潜力。

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